Liczby rzeczywiste, przedziały i wartość bezwzględna

Zbiory liczbowe

Liczby poznawało się w szkole po kolei, zawsze wtedy, gdy stare przestawały wystarczać. Do liczenia przedmiotów wystarczą liczby $0, 1, 2, 3, \ldots$ — to liczby naturalne. Gdy trzeba zapisać temperaturę poniżej zera albo dług, potrzebne są liczby ujemne. Razem z naturalnymi tworzą liczby całkowite: $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$

Dzielenie wyprowadza poza liczby całkowite: $3 : 4$ nie jest liczbą całkowitą. Tak powstają liczby wymierne — wszystkie, które da się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych, np. $\frac{3}{4}$, $-\frac{7}{2}$, $5 = \frac{5}{1}$. Każda liczba całkowita jest więc wymierna, bo wystarczy dopisać mianownik $1$.

Są jednak liczby, których nie da się zapisać jako ułamka. Przekątna kwadratu o boku $1$ ma długość $\sqrt{2}$, a obwód koła o średnicy $1$ to $\pi$. Żaden ułamek $\frac{p}{q}$ nie jest dokładnie równy $\sqrt{2}$ ani $\pi$. Takie liczby nazywamy niewymiernymi. Wszystkie liczby wymierne i niewymierne razem to liczby rzeczywiste — każdemu punktowi osi liczbowej odpowiada dokładnie jedna z nich.

Zbiory liczbowe najłatwiej zobaczyć jako pudełka włożone jedno w drugie. Najmniejsze pudełko to $\mathbb{N}$, największe — $\mathbb{R}$. Liczby niewymierne leżą w $\mathbb{R}$, ale poza pudełkiem $\mathbb{Q}$ (Rys. 1).

Liczbę niewymierną też można dokładnie zaznaczyć na osi. Narysuj kwadrat o boku $1$ oparty na odcinku od $0$ do $1$. Jego przekątna ma długość $\sqrt{2}$ (z twierdzenia Pitagorasa: $1^2 + 1^2 = 2$). Wbij cyrkiel w zero, rozstaw go na długość przekątnej i zatocz łuk do osi — łuk przetnie ją dokładnie w punkcie $\sqrt{2}$ (Rys. 2). Między dowolnymi dwiema liczbami na osi leży zawsze nieskończenie wiele innych, zarówno wymiernych, jak i niewymiernych.

Po czym poznać liczbę wymierną

Najprościej po rozwinięciu dziesiętnym. Liczba wymierna ma rozwinięcie skończone ($\frac{3}{8} = 0{,}375$) albo nieskończone okresowe ($\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)$). Dzieje się tak, bo przy dzieleniu pisemnym przez $q$ reszty mogą być tylko liczbami od $0$ do $q - 1$. Po co najwyżej $q$ krokach któraś reszta musi się powtórzyć — i od tej chwili cyfry też się powtarzają.

Liczba niewymierna ma rozwinięcie nieskończone i nieokresowe: $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$, $\pi = 3{,}14159265\ldots$ Cyfry nigdy nie układają się w powtarzający się blok.

Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest wymierny tylko wtedy, gdy ta liczba jest kwadratem liczby naturalnej. $\sqrt{36} = 6$ jest wymierny, ale $\sqrt{35}$, $\sqrt{40}$ czy $\sqrt{3}$ — niewymierne.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Wśród liczb $-6$, $\frac{9}{3}$, $0{,}25$, $\sqrt{20}$, $\sqrt{64}$, $\pi - 1$ wskaż liczby naturalne, całkowite i niewymierne.

Najpierw upraszczasz, bo zapis może ukrywać prawdziwą naturę liczby. $\frac{9}{3} = 3$ i $\sqrt{64} = 8$ — to liczby naturalne, a więc też całkowite. Liczba $-6$ jest całkowita, ale nie naturalna. Liczba $0{,}25 = \frac{1}{4}$ jest wymierna, ale nie całkowita.

Liczba $20$ nie jest kwadratem liczby naturalnej ($4^2 = 16$, $5^2 = 25$), więc $\sqrt{20}$ jest niewymierny. Liczba $\pi - 1$ też, bo od niewymiernej odjęto wymierną.

Przykład 2. Zapisz liczbę $0{,}(45)$ w postaci ułamka zwykłego.

Oznaczasz liczbę literą i mnożysz przez $100$, bo okres ma dwie cyfry. Wtedy okres przesuwa się o jeden pełny blok:

$$x = 0{,}454545\ldots$$ $$100x = 45{,}454545\ldots$$

Po odjęciu stronami nieskończone ogony się skasują:

$$100x - x = 45$$ $$99x = 45, \qquad x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$$

Sprawdzenie: $5 : 11 = 0{,}4545\ldots$ Zgadza się.

Przykład 3. Czy liczba $\sqrt{27} \cdot \sqrt{3} - 2$ jest wymierna?

Na pierwszy rzut oka są tu pierwiastki. Ale iloczyn pierwiastków to pierwiastek z iloczynu:

$$\sqrt{27} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{81} = 9$$ $$9 - 2 = 7$$

Wynik $7$ jest liczbą całkowitą, więc wymierną.

Typowy błąd

Uczniowie uważają, że $\pi = 3{,}14$ albo $\pi = \frac{22}{7}$. To tylko przybliżenia $\pi$ — obie są liczbami wymiernymi, a $\pi$ nie jest. Drugi błąd to uznanie każdego pierwiastka za liczbę niewymierną. Zanim ocenisz, uprość: $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ jest wymierny, bo $0{,}7^2 = 0{,}49$.

Sprawdź się

1. Które z liczb $\sqrt{45}$, $\sqrt{\frac{9}{16}}$, $0{,}1(6)$ są wymierne?
2. Zapisz $0{,}(12)$ jako ułamek nieskracalny.
3. Podaj przykład dwóch liczb niewymiernych, których iloczyn jest liczbą całkowitą.

Odpowiedzi: 1) $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ i $0{,}1(6)$ (rozwinięcie okresowe) są wymierne; $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ — nie. 2) $99x = 12$, więc $x = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$. 3) Np. $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$.

Działania na ułamkach i kolejność działań

Ułamek $\frac{3}{4}$ to trzy części tortu pokrojonego na cztery. Dodawać możesz tylko kawałki tej samej wielkości — ćwiartki do ćwiartek, szóstki do szóstek. Dlatego przed dodawaniem sprowadzasz ułamki do wspólnego mianownika: rozszerzasz je tak, żeby kawałki były równe, i dopiero wtedy dodajesz liczniki.

Przy mnożeniu takiego problemu nie ma. $\frac{2}{3}$ z $\frac{3}{4}$ tortu to $\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ — mnożysz licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.

Dzielenie przez ułamek zamieniasz na mnożenie przez jego odwrotność. Pytanie „ile razy $\frac{1}{4}$ mieści się w $3$?” ma odpowiedź $12$, bo w każdej całości mieszczą się cztery ćwiartki. To samo daje rachunek $3 \cdot 4 = 12$. Odwrotność $\frac{c}{d}$ to $\frac{d}{c}$, bo ich iloczyn jest równy $1$.

Liczby mieszane, np. $2\frac{1}{3}$, przed mnożeniem i dzieleniem zamieniasz na ułamki niewłaściwe: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$, bo dwie całości to sześć trzecich, a do tego jedna trzecia. Ułamek dziesiętny zamieniasz na zwykły, czytając go na głos: $0{,}25$ to „dwadzieścia pięć setnych”, czyli $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$, a $0{,}125$ to $\frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Nie trzeba wkuwać takich par — wystarczy przeczytać ułamek i skrócić.

W praktyce nie mnożysz od razu mianowników — szukasz najmniejszego wspólnego mianownika. Dla $\frac{5}{6}$ i $\frac{3}{4}$ jest to $12$, a nie $24$ (Rys. 3). Liczby są wtedy mniejsze i rzadziej trzeba skracać.

Kolejność działań

Wyrażenie $2 + 3 \cdot 4$ musi mieć jedną wartość, więc umówiono się co do kolejności. Najpierw liczysz to, co w nawiasach. Potem potęgi i pierwiastki. Potem mnożenie i dzielenie — w kolejności od lewej do prawej. Na końcu dodawanie i odejmowanie — też od lewej. Dlatego $2 + 3 \cdot 4 = 14$, a nie $20$.

Kreska ułamkowa działa jak nawias: w $\frac{3 + 5}{2}$ najpierw dodajesz, potem dzielisz. Mnożenie i dzielenie są „równorzędne”, więc $12 : 3 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$, a nie $12 : 6 = 2$.

Osobnej uwagi wymaga minus. Minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika w nawiasie: $5 - (2 - 7) = 5 - 2 + 7 = 10$. Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby przeciwnej: $3 - (-4) = 7$. Iloraz i iloczyn dwóch liczb ujemnych są dodatnie, a liczby dodatniej i ujemnej — ujemne. Przy ułamkach minus możesz przenosić między licznikiem, mianownikiem i całym ułamkiem: $\frac{-3}{4} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$. Większość błędów rachunkowych na maturze to właśnie zgubione minusy, więc przy każdym nawiasie poprzedzonym minusem zwolnij.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Oblicz $\frac{3}{4} - \frac{5}{6}$.

Najmniejszy wspólny mianownik liczb $4$ i $6$ to $12$. Rozszerzasz oba ułamki:

$$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \qquad \frac{5}{6} = \frac{10}{12}$$ $$\frac{9}{12} - \frac{10}{12} = -\frac{1}{12}$$

Sprawdzenie sensu: $\frac{5}{6} \approx 0{,}83$ jest większe od $0{,}75$, więc wynik musi być ujemny i bliski zera.

Przykład 2. Oblicz $3 : \left(1 - \frac{2}{5}\right)$.

Najpierw nawias. Jedynkę zapisujesz jako $\frac{5}{5}$:

$$1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$$

Dzielenie przez $\frac{3}{5}$ to mnożenie przez $\frac{5}{3}$:

$$3 \cdot \frac{5}{3} = 5$$

Sprawdzenie: dzielisz przez liczbę mniejszą od $1$, więc wynik musi być większy niż $3$. Jest.

Przykład 3. Oblicz $\frac{5}{6} - \frac{2}{3} : \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right)$.

Kolejność: nawias, potem dzielenie, na końcu odejmowanie. W nawiasie wspólny mianownik $6$:

$$\frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Dzielenie zamieniasz na mnożenie przez odwrotność:

$$\frac{2}{3} : \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$$

Na końcu odejmowanie:

$$\frac{5}{6} - 2 = \frac{5}{6} - \frac{12}{6} = -\frac{7}{6}$$

Przykład 4. Oblicz $\left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right)\left(1 + \frac{1}{4}\right)$.

Każdy nawias liczysz osobno i dostajesz ułamki niewłaściwe:

$$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4}$$

Zanim pomnożysz, skróć: trójka z licznika drugiego ułamka z trójką z mianownika pierwszego, czwórka — tak samo. Zostaje:

$$\frac{5}{2}$$

To typowy chwyt z matury: w długim iloczynie liczniki i mianowniki skracają się „na ukos”, więc nie ma sensu mnożyć dużych liczb.

Typowy błąd

Najczęstszy błąd to dodawanie liczników i mianowników osobno: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$. Tymczasem $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$. Wynik $\frac{2}{5}$ jest mniejszy od $\frac{1}{2}$ — suma nie może być mniejsza od jednego z dodatnich składników. Drugi błąd to „rozdzielanie” dzielenia na nawias: $12 : (4 - 2) = 6$, a $12 : 4 - 12 : 2 = -3$. Przez nawias możesz rozdzielać mnożenie, nie dzielenie przez nawias.

Sprawdź się

1. Oblicz $\frac{2}{3} + \frac{3}{4} \cdot 2$.
2. Oblicz $\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right) : \frac{3}{10}$.
3. Oblicz $4 - 2 : \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)$.

Odpowiedzi: 1) Najpierw mnożenie: $\frac{3}{2}$; potem $\frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6}$. 2) $\frac{3}{10} : \frac{3}{10} = 1$. 3) Nawias to $\frac{1}{2}$, więc $2 : \frac{1}{2} = 4$ i wynik $4 - 4 = 0$.

Przybliżenia i kalkulator

Liczby niewymiernej nie da się zapisać do końca w postaci dziesiętnej, a wiele wymiernych ma rozwinięcie nieskończone. W praktyce — przy mierzeniu, liczeniu pieniędzy, odczytywaniu wyniku z kalkulatora — zapisujesz więc liczbę w przybliżeniu. Znak $\approx$ czytasz „w przybliżeniu równa się”.

Zaokrąglanie ma prostą regułę. Patrzysz na pierwszą cyfrę, którą odrzucasz. Jeśli jest to $0, 1, 2, 3$ lub $4$, zostawiasz ostatnią zachowaną cyfrę bez zmian. Jeśli $5, 6, 7, 8$ lub $9$ — zwiększasz ją o $1$. Reguła wybiera po prostu bliższy z dwóch możliwych wyników (Rys. 4).

Kalkulator prosty na maturze

Na maturze podstawowej możesz używać kalkulatora prostego: cztery działania, pierwiastek kwadratowy, procent. Nie ma na nim potęgowania ani logarytmów. Potęgę liczysz więc przez kolejne mnożenia. Większość kalkulatorów powtarza ostatnie mnożenie po każdym wciśnięciu „$=$”. Wpisujesz $1{,}2 \times 1{,}2 =$ i dostajesz $1{,}44$, a kolejne „$=$” dają $1{,}728$, $2{,}0736$ itd.

Kalkulator nie zwalnia z myślenia. Zawsze oszacuj wynik w pamięci — jeśli kalkulator pokaże coś zupełnie innego, gdzieś wciśnięto zły klawisz.

Szacowanie

Szacowanie to liczenie na zaokrąglonych liczbach, żeby szybko poznać rząd wielkości wyniku. Nie zastępuje ono obliczenia, ale je kontroluje. Na przykład $19{,}8 \cdot 5{,}1$ to mniej więcej $20 \cdot 5 = 100$ (dokładnie $100{,}98$). Szacowanie pomaga też przy zadaniach zamkniętych: gdy warianty odpowiedzi bardzo się różnią, często wystarczy ocenić, który jest w ogóle możliwy.

Pierwiastki szacujesz, szukając najbliższych kwadratów. Skoro $6^2 = 36$ i $7^2 = 49$, to $\sqrt{40}$ leży między $6$ a $7$, bliżej $6$. Tak samo dostajesz dokładniejsze przybliżenie bez kalkulatora: $1{,}4^2 = 1{,}96$ i $1{,}5^2 = 2{,}25$, więc $\sqrt{2}$ leży między $1{,}4$ a $1{,}5$, bardzo blisko $1{,}4$. Nie musisz pamiętać rozwinięcia $\sqrt{2}$ — wystarczy umieć je oszacować.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Zaokrąglij $\sqrt{7} = 2{,}6457\ldots$ do części dziesiątych i do części setnych.

Do części dziesiątych: zostawiasz $2{,}6$, pierwsza odrzucana cyfra to $4$ — nie zmieniasz.

$$\sqrt{7} \approx 2{,}6$$

Do części setnych: zostawiasz $2{,}64$, pierwsza odrzucana cyfra to $5$ — zwiększasz.

$$\sqrt{7} \approx 2{,}65$$

Przykład 2. Oblicz $3{,}456 \cdot 2{,}5$ i wynik zaokrąglij do części dziesiątych. Porównaj z wynikiem, w którym najpierw zaokrąglisz $3{,}456$.

Dokładnie:

$$3{,}456 \cdot 2{,}5 = 8{,}64 \approx 8{,}6$$

Gdy najpierw zaokrąglisz $3{,}456 \approx 3{,}5$:

$$3{,}5 \cdot 2{,}5 = 8{,}75 \approx 8{,}8$$

Wyniki różnią się o $0{,}2$, bo błąd zaokrąglenia został pomnożony przez $2{,}5$. Poprawna odpowiedź to $8{,}6$.

Przykład 3. Na kalkulatorze prostym oblicz $1{,}2^5$ i zaokrąglij do części setnych.

Mnożysz kolejno przez $1{,}2$:

$$1{,}2^2 = 1{,}44$$ $$1{,}2^3 = 1{,}728$$ $$1{,}2^4 = 2{,}0736$$ $$1{,}2^5 = 2{,}48832 \approx 2{,}49$$

Sprawdzenie sensu: $1{,}2^5 = 1{,}2^4 \cdot 1{,}2$, a $2 \cdot 1{,}2 = 2{,}4$. Wynik nieco większy od $2{,}4$ jest wiarygodny.

Typowy błąd

Uczniowie zaokrąglają „łańcuchowo”: $2{,}449$ do części dziesiątych zamieniają najpierw na $2{,}45$, a potem na $2{,}5$. To błąd. Przy zaokrąglaniu do części dziesiątych patrzysz tylko na cyfrę setnych, czyli $4$. Poprawnie $2{,}449 \approx 2{,}4$. Liczba $2{,}449$ leży bliżej $2{,}4$ niż $2{,}5$ — reguła zawsze wskazuje bliższą wartość.

Sprawdź się

1. Zaokrąglij $12{,}3456$ do części setnych.
2. Zaokrąglij $\pi$ do części tysięcznych.
3. Bez kalkulatora oceń, czy $3{,}7 \cdot 4{,}2$ jest bliższe $12$ czy $16$, a potem oblicz dokładnie.

Odpowiedzi: 1) $12{,}35$ (odrzucana cyfra $5$). 2) $3{,}142$ ($\pi = 3{,}14159\ldots$, odrzucana cyfra $5$). 3) Obie liczby są bliżej $4$ niż $3$, więc bliżej $16$; dokładnie $15{,}54$.

Przedziały na osi liczbowej

Nierówność $x > 2$ spełnia nieskończenie wiele liczb: $3$, $2{,}5$, $2{,}001$, $\sqrt{5}$, $100$… Nie da się ich wypisać. Na osi liczbowej tworzą jednak jeden spójny kawałek — wszystko na prawo od $2$. Taki kawałek osi nazywamy przedziałem i zapisujemy krótko, podając tylko jego końce.

Najważniejsze jest pytanie, czy koniec należy do przedziału. Nawias kwadratowy mówi „tak”, nawias okrągły — „nie”. Na osi koniec należący zaznaczasz zamalowanym kółkiem, a nienależący — pustym. Przedział z obydwoma końcami to przedział domknięty, bez końców — otwarty.

Gdy przedział ciągnie się bez końca w prawo albo w lewo, zamiast końca piszesz $+\infty$ lub $-\infty$ (nieskończoność). Nieskończoność nie jest liczbą — nie da się jej „dojść” ani zamalować na osi. Dlatego przy $\infty$ nawias jest zawsze okrągły (Rys. 5).

Długość przedziału ograniczonego to różnica końców: $b - a$. Przedziały nieograniczone długości nie mają.

Przedział odczytany z rysunku zapisujesz od lewej do prawej: najpierw mniejszy koniec, potem większy. Każdy koniec oceniasz osobno — patrzysz, czy kółko jest zamalowane. Gdy na osi zaznaczono dwa oddzielne kawałki, zbiór nie jest jednym przedziałem, tylko sumą dwóch (o sumie mówi następny rozdział). Cała oś liczbowa to też przedział: $\mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$. Pojedynczy punkt, np. $\{2\}$, przedziałem w szkolnym sensie nie jest — zapisujesz go w nawiasach klamrowych jako zbiór jednoelementowy. Klamry służą zawsze do wypisania elementów zbioru jeden po drugim, a nawiasy przedziału — do opisania całego kawałka osi.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Zapisz w postaci przedziału zbiór liczb spełniających warunek $-1 < x \leq 4$.

Nierówność przy $-1$ jest ostra, więc $-1$ nie należy — nawias okrągły. Przy $4$ jest „$\leq$”, więc $4$ należy — nawias kwadratowy.

$$x \in (-1, 4]$$

Przykład 2. Zapisz w postaci przedziału zbiór liczb mniejszych od $\sqrt{3}$.

W lewo przedział nie ma końca, a $\sqrt{3}$ do niego nie należy (nierówność ostra).

$$x \in (-\infty, \sqrt{3})$$

Przykład 3. Ile liczb całkowitych należy do przedziału $[-2{,}5;\ 3)$?

Uwaga na zapis: gdy końce mają przecinki dziesiętne, oddziela się je średnikiem. Najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od $-2{,}5$ to $-2$ (Rys. 6). Liczba $3$ nie należy (nawias okrągły). Wypisujesz:

$$-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$$

Jest ich $5$.

Przykład 4. Oblicz długość przedziału $[-3{,}5;\ 2]$.

Od prawego końca odejmujesz lewy:

$$2 - (-3{,}5) = 5{,}5$$

Sprawdzenie na osi: od $-3{,}5$ do $0$ jest $3{,}5$, od $0$ do $2$ jest $2$, razem $5{,}5$.

Typowy błąd

Błąd pierwszy: zapis $[3, +\infty]$. Nieskończoność nigdy nie należy do przedziału, więc poprawnie $[3, +\infty)$. Błąd drugi: pomylenie kółek. Dla $x < 5$ kółko w $5$ jest puste, bo $5 < 5$ to fałsz. Błąd trzeci przy liczeniu liczb całkowitych: w $(-3, 2]$ uczniowie liczą też $-3$ i wychodzi $6$ zamiast $5$. Zawsze sprawdź, czy końce należą.

Sprawdź się

1. Zapisz w postaci przedziału zbiór liczb spełniających nierówność $x \geq -4$.
2. Ile liczb całkowitych należy do przedziału $(-3, 3]$?
3. Czy liczba $\frac{7}{3}$ należy do przedziału $(2;\ 2{,}3)$?

Odpowiedzi: 1) $[-4, +\infty)$. 2) $-2, -1, 0, 1, 2, 3$, czyli $6$. 3) Nie, bo $\frac{7}{3} = 2{,}333\ldots > 2{,}3$.

Suma i część wspólna przedziałów

Często liczby muszą spełniać dwa warunki naraz albo przynajmniej jeden z nich. Temperatura ma być „powyżej $18^\circ$ i poniżej $24^\circ$” — to część wspólna dwóch warunków. Zniżka przysługuje osobom „poniżej $26$ lat lub powyżej $60$” — to suma. Słowo „i” odpowiada części wspólnej, słowo „lub” — sumie.

Część wspólna (iloczyn) zbiorów $A \cap B$ to liczby, które należą do obu zbiorów. Suma $A \cup B$ to liczby, które należą do co najmniej jednego z nich. Różnica $A \setminus B$ to liczby z $A$, które nie należą do $B$.

Najpewniejszy sposób to rysunek. Zaznaczasz oba przedziały na jednej osi, ale na dwóch „piętrach” — jeden nad drugim. Część wspólna jest tam, gdzie oba piętra są zamalowane. Suma — tam, gdzie zamalowane jest choć jedno.

Najwięcej uwagi wymagają końce. Koniec należy do części wspólnej, jeśli należy do obu przedziałów. Do sumy należy, jeśli należy do przynajmniej jednego.

Część wspólna przydaje się, gdy liczba ma spełniać dwie nierówności naraz. Warunki $x > -1$ i $x \leq 3$ to przedziały $(-1, +\infty)$ i $(-\infty, 3]$. Ich część wspólna to $(-1, 3]$ — dokładnie to, co zapisuje podwójna nierówność $-1 < x \leq 3$. Tak samo w zadaniach tekstowych: „co najmniej $2$ i mniej niż $5$” to $[2, 5)$.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Wyznacz $[-1, 6) \cap (2, 9]$.

Rysujesz oba przedziały na dwóch piętrach. Oba są zamalowane od $2$ do $6$ (Rys. 7). Sprawdzasz końce: $2$ nie należy do drugiego przedziału, $6$ nie należy do pierwszego.

$$[-1, 6) \cap (2, 9] = (2, 6)$$

Przykład 2. Wyznacz $(-\infty, 1) \cup [-3, 4]$.

Pierwszy przedział zaczyna się w $-\infty$, drugi kończy się w $4$ i zachodzi na pierwszy. Razem pokrywają wszystko aż do $4$. Liczba $4$ należy do drugiego przedziału, więc należy do sumy.

$$(-\infty, 1) \cup [-3, 4] = (-\infty, 4]$$

Przykład 3. Dane są $A = (-4, 3]$ i $B = [1, +\infty)$. Wyznacz $A \cap B$, $A \cup B$ oraz $A \setminus B$.

Część wspólna: oba zamalowane od $1$ do $3$, oba końce należą do obu przedziałów (Rys. 8).

$$A \cap B = [1, 3]$$

Suma: od $-4$ (bez $-4$) bez końca w prawo.

$$A \cup B = (-4, +\infty)$$

Różnica: z $A$ usuwasz wszystko od $1$ wzwyż, razem z $1$, bo $1 \in B$.

$$A \setminus B = (-4, 1)$$

Przykład 4. Wyznacz $(-\infty, -2) \cap [0, +\infty)$.

Pierwszy przedział kończy się przed $-2$, drugi zaczyna się w $0$. Na rysunku piętra nie nachodzą na siebie.

$$(-\infty, -2) \cap [0, +\infty) = \emptyset$$

Typowy błąd

Uczniowie „sklejają” przedziały, które się tylko stykają: $(1, 5) \cup (5, 8) = (1, 8)$. To błąd — liczba $5$ nie należy do żadnego z nich, więc suma to $(1, 5) \cup (5, 8)$ i nie da się jej zapisać jednym przedziałem. Drugi błąd to odwrotna sytuacja na końcach: $[1, 5] \cap [5, 8]$ nie jest zbiorem pustym, tylko zbiorem jednoelementowym $\{5\}$.

Sprawdź się

1. Wyznacz $[-2, 3) \cap [0, 5]$.
2. Wyznacz $(-\infty, 2] \cup (-1, 6)$.
3. Wyznacz $(-5, 0) \cap [0, 4)$.

Odpowiedzi: 1) $[0, 3)$. 2) $(-\infty, 6)$. 3) $\emptyset$, bo $0$ nie należy do pierwszego przedziału.

Wartość bezwzględna jako odległość

Liczby $5$ i $-5$ leżą po przeciwnych stronach zera, ale tak samo daleko od niego (Rys. 9). Tę odległość od zera nazywamy wartością bezwzględną (albo modułem) i oznaczamy pionowymi kreskami: $|5| = 5$, $|-5| = 5$. Odległość nie może być ujemna, więc wartość bezwzględna jest zawsze liczbą nieujemną.

Jak to zapisać wzorem? Dla liczby nieujemnej nic nie trzeba robić: $|7| = 7$. Dla ujemnej trzeba „zabrać minus”, czyli wziąć liczbę przeciwną: $|-7| = -(-7) = 7$. Stąd bierze się zapis $|a| = -a$ dla $a < 0$. Minus przed $a$ nie oznacza wyniku ujemnego — skoro $a$ jest ujemne, to $-a$ jest dodatnie.

Odległość dwóch liczb

Najważniejsza interpretacja: $|a - b|$ to odległość między punktami $a$ i $b$ na osi. Odległość między $2$ a $9$ to $|9 - 2| = 7$. Kolejność nie ma znaczenia: $|2 - 9| = |-7| = 7$. W szczególności $|x|$ to odległość $x$ od zera, bo $|x| = |x - 0|$.

Znak wyrażenia z pierwiastkiem

Na maturze pod modułem często stoi różnica liczby i pierwiastka. Znak ustalasz, porównując kwadraty: $\sqrt{11}$ czy $3$? Skoro $3 = \sqrt{9}$ i $9 < 11$, to $\sqrt{11} > 3$. Nie potrzebujesz kalkulatora — wystarczy podnieść obie liczby do kwadratu. To samo wiąże się ze wzorem z tematu o potęgach: $\sqrt{a^2} = |a|$.

Własności modułu

Kilka własności wynika wprost z interpretacji odległości. Moduł jest zawsze nieujemny i równa się zeru tylko dla zera. Liczby przeciwne mają ten sam moduł: $|-a| = |a|$, bo leżą symetrycznie względem zera. Moduł iloczynu to iloczyn modułów: $|-3 \cdot 4| = 12 = |-3| \cdot |4|$.

Z sumą tak nie jest. $|3 + (-5)| = |-2| = 2$, a $|3| + |-5| = 8$. Moduł sumy może być mniejszy od sumy modułów, bo składniki o różnych znakach częściowo się znoszą. Dlatego nie wolno „rozbijać” modułu na składniki.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Oblicz $|-7| + |3 - 8|$.

Najpierw liczysz wnętrze modułów, potem bierzesz odległość od zera.

$$|-7| = 7$$ $$|3 - 8| = |-5| = 5$$ $$7 + 5 = 12$$

Przykład 2. Oblicz odległość liczb $-3$ i $4$ na osi.

Odległość to moduł różnicy. Uważaj na minus przy odejmowaniu liczby ujemnej (Rys. 10).

$$|4 - (-3)| = |7| = 7$$

Sprawdzenie na osi: od $-3$ do $0$ są trzy jednostki, od $0$ do $4$ — cztery, razem siedem.

Przykład 3. Zapisz bez wartości bezwzględnej $|3 - \sqrt{11}|$.

Ustalasz znak. $3 = \sqrt{9} < \sqrt{11}$, więc wyrażenie $3 - \sqrt{11}$ jest ujemne. Moduł liczby ujemnej to liczba przeciwna — zmieniasz znaki obu składników.

$$|3 - \sqrt{11}| = \sqrt{11} - 3$$

Sprawdzenie: $\sqrt{11} \approx 3{,}32$, więc wynik $\approx 0{,}32 > 0$. Moduł wyszedł dodatni — tak musi być.

Przykład 4. Oblicz $2|\sqrt{3} - 2| - |1 - \sqrt{3}|$.

Znaki: $\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2$, więc $\sqrt{3} - 2 < 0$. Z kolei $\sqrt{3} > \sqrt{1} = 1$, więc $1 - \sqrt{3} < 0$. Oba moduły zamieniasz na liczby przeciwne:

$$|\sqrt{3} - 2| = 2 - \sqrt{3}$$ $$|1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1$$

Podstawiasz i opuszczasz nawiasy. Uważaj na minus przed drugim nawiasem:

$$2(2 - \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - 1) = 4 - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 1$$ $$= 5 - 3\sqrt{3}$$

Sprawdzenie sensu: $\sqrt{3} \approx 1{,}732$, więc $5 - 3\sqrt{3} \approx -0{,}196$. Z drugiej strony moduły to w przybliżeniu $0{,}268$ i $0{,}732$, a $2 \cdot 0{,}268 - 0{,}732 = -0{,}196$. Zgadza się. Wynik może być ujemny, bo to różnica modułów, a nie jeden moduł.

Typowy błąd

Najczęstszy błąd to opuszczenie kresek bez sprawdzenia znaku: $|1 - \pi| = 1 - \pi$. To liczba ujemna ($\approx -2{,}14$), a moduł nie może być ujemny. Poprawnie $|1 - \pi| = \pi - 1$. Drugi błąd to przekonanie, że $|-x| = x$ zawsze. Dla $x = -2$ mamy $|-x| = |2| = 2$, a $x = -2$. Poprawnie $|-x| = |x|$. Zawsze sprawdzaj: wynik opuszczenia modułu musi być nieujemny.

Sprawdź się

1. Oblicz $|-2{,}5| - |1{,}5|$.
2. Oblicz odległość liczb $-6$ i $-1$ na osi.
3. Zapisz bez wartości bezwzględnej $|\sqrt{2} - 1{,}5|$.

Odpowiedzi: 1) $2{,}5 - 1{,}5 = 1$. 2) $|-1 - (-6)| = 5$. 3) $\sqrt{2} \approx 1{,}414 < 1{,}5$, więc wynik to $1{,}5 - \sqrt{2}$.

Równania z wartością bezwzględną

Równanie $|x - 5| = 2$ czytasz geometrycznie: „odległość liczby $x$ od $5$ jest równa $2$”. Na osi stajesz w punkcie $5$ i odmierzasz $2$ w lewo i $2$ w prawo. Trafiasz w $3$ i w $7$ (Rys. 11). Innych takich punktów nie ma, więc równanie ma dwa rozwiązania.

To samo można policzyć algebraicznie. Moduł jest równy $2$, gdy wyrażenie w środku jest równe $2$ albo $-2$, bo tylko te dwie liczby leżą w odległości $2$ od zera. Dostajesz dwa zwykłe równania: $x - 5 = 2$ lub $x - 5 = -2$. Obie drogi dają to samo.

Co z $|x + 4|$? Zapisz plus jako „minus minus”: $x + 4 = x - (-4)$. Zatem $|x + 4|$ to odległość $x$ od $-4$, a nie od $4$. To najważniejszy szczegół całego rozdziału.

Gdy przy $x$ stoi współczynnik, np. $|3x + 6| = 9$, najprościej od razu rozpisać dwa przypadki: wyrażenie w środku równa się $9$ albo $-9$. Można też wyłączyć współczynnik: $|3x + 6| = 3|x + 2|$, więc $|x + 2| = 3$ — i znowu widać środek $-2$ oraz odległość $3$.

Najprostszy przypadek to $|x| = b$, czyli $|x - 0| = b$. Środkiem jest zero, więc rozwiązania to $b$ i $-b$. Na przykład $|x| = 6$ spełniają $6$ i $-6$. Zbiór rozwiązań na osi to zawsze dwa punkty położone symetrycznie względem środka $a$ (albo jeden punkt, albo nic). Właśnie po tej symetrii najszybciej sprawdzisz odpowiedź: środek dwóch rozwiązań musi być równy $a$.

Równania z modułem pojawiają się też w zadaniach z treścią. Zdanie „temperatura różni się od $20^\circ$ o $3^\circ$” zapisujesz jako $|t - 20| = 3$. Nie wiadomo, czy jest cieplej, czy chłodniej, więc są dwie możliwości: $17^\circ$ albo $23^\circ$. Moduł pojawia się zawsze wtedy, gdy liczy się sama różnica, a nie jej kierunek.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Rozwiąż równanie $|x - 5| = 2$.

Środek to $5$, odległość $2$. Odmierzasz w obie strony:

$$x = 5 - 2 = 3 \quad \text{lub} \quad x = 5 + 2 = 7$$

Sprawdzenie: $|3 - 5| = 2$ i $|7 - 5| = 2$.

Przykład 2. Rozwiąż równanie $|x + 3| = 6$.

Zapisujesz $x + 3 = x - (-3)$. Środek to $-3$, a nie $3$ (Rys. 12). Odległość $6$:

$$x = -3 - 6 = -9 \quad \text{lub} \quad x = -3 + 6 = 3$$

Sprawdzenie: $|-9 + 3| = |-6| = 6$ oraz $|3 + 3| = 6$.

Przykład 3. Rozwiąż równanie $|3x + 6| = 9$.

Wnętrze modułu jest równe $9$ albo $-9$. Rozwiązujesz dwa równania liniowe:

$$3x + 6 = 9 \quad \Rightarrow \quad 3x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$ $$3x + 6 = -9 \quad \Rightarrow \quad 3x = -15 \quad \Rightarrow \quad x = -5$$

Sprawdzenie geometryczne: $|3x + 6| = 3|x + 2|$, więc $|x + 2| = 3$. Środek $-2$, odległość $3$ — dostajesz $-5$ i $1$. Zgadza się.

Przykład 4. Zapisz równanie postaci $|x - a| = b$, którego rozwiązaniami są liczby $-7$ i $3$.

Środek $a$ leży w połowie drogi między rozwiązaniami — to ich średnia:

$$a = \frac{-7 + 3}{2} = -2$$

Odległość $b$ to połowa odległości między rozwiązaniami:

$$b = \frac{3 - (-7)}{2} = 5$$

Równanie ma postać $|x - (-2)| = 5$, czyli:

$$|x + 2| = 5$$

Sprawdzenie: $|-7 + 2| = 5$ i $|3 + 2| = 5$.

Typowy błąd

Przy $|x + 1| = 3$ uczniowie biorą środek $1$ i dostają $x = -2$ lub $x = 4$. Podstaw: $|4 + 1| = 5 \neq 3$. Poprawny środek to $-1$, a rozwiązania to $x = -4$ lub $x = 2$. Drugi błąd to „rozwiązywanie” równania $|x - 2| = -3$ i podawanie $x = -1$ lub $x = 5$. Moduł nie może być ujemny, więc to równanie nie ma rozwiązań. Zawsze sprawdzaj wyniki przez podstawienie.

Sprawdź się

1. Rozwiąż równanie $|x - 4| = 1$.
2. Rozwiąż równania $|x + 7| = 0$ oraz $|x - 2| = -3$.
3. Rozwiąż równanie $|2x + 1| = 7$.

Odpowiedzi: 1) $x = 3$ lub $x = 5$. 2) Pierwsze: $x = -7$; drugie nie ma rozwiązań, bo moduł nie jest ujemny. 3) $2x + 1 = 7$ daje $x = 3$, a $2x + 1 = -7$ daje $x = -4$.

Najczęstsze błędy na maturze

• Przybliżenie zamiast liczby. $\pi \neq 3{,}14$ i $\pi \neq \frac{22}{7}$ — to tylko wymierne przybliżenia liczby niewymiernej.
• Dodawanie ułamków. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}$; najpierw wspólny mianownik.
• Kolejność działań. Mnożenie i dzielenie przed dodawaniem; $12 : 3 \cdot 2 = 8$, bo działania równorzędne wykonujesz od lewej.
• Dzielenie przez nawias. $a : (b - c) \neq a : b - a : c$.
• Zaokrąglanie po drodze i łańcuchowo. Zaokrąglasz tylko wynik końcowy i patrzysz tylko na pierwszą odrzucaną cyfrę.
• Nieskończoność w nawiasie kwadratowym. Przy $\pm\infty$ zawsze nawias okrągły.
• Końce przedziałów. Do części wspólnej należy koniec, który należy do obu przedziałów; $(1, 5) \cup (5, 8) \neq (1, 8)$.
• Moduł bez sprawdzenia znaku. $|1 - \pi| = \pi - 1$, a nie $1 - \pi$.
• Zły środek. $|x + 4|$ to odległość od $-4$, nie od $4$.
• Ujemna prawa strona. Równanie $|x - a| = b$ przy $b < 0$ nie ma rozwiązań.