Potęgi i pierwiastki

Potęga — skrót mnożenia

Matematyka bardzo często każe mnożyć tę samą liczbę przez siebie wiele razy. Kartka złożona na pół ma 2 warstwy, złożona drugi raz — 4, trzeci raz — 8. Każde złożenie to kolejne mnożenie przez 2 (Rys. 1). Po dziesięciu złożeniach trzeba by zapisać dziesięć dwójek połączonych kropkami. Taki zapis jest długi i łatwo w nim zgubić jedną dwójkę. Dlatego wymyślono krótszy.

Zamiast pisać wszystkie czynniki, piszesz jeden z nich i obok, u góry, małą liczbę, która mówi, ile ich jest. Zapis $2^{10}$ znaczy „dziesięć dwójek w mnożeniu”. To jest potęga. Dużą liczbę na dole nazywamy podstawą — to liczba, którą mnożysz. Małą liczbę u góry nazywamy wykładnikiem (Rys. 2) — mówi, ile razy podstawa stoi w mnożeniu. Zapis $2^{10}$ czytasz „dwa do potęgi dziesiątej” albo krócej „dwa do dziesiątej”.

Potęgi rosną bardzo szybko. $2^{10} = 1024$, czyli dziesięć złożeń kartki daje ponad tysiąc warstw. Właśnie dlatego potęgi opisują wszystko, co rośnie „razy coś” w każdym kroku: bakterie, które dzielą się co godzinę, lokatę z procentem składanym, rozpad izotopu. W tych sytuacjach nie dodajesz stałej liczby, tylko mnożysz przez stały czynnik.

Dwie potęgi mają własne nazwy. $a^2$ to kwadrat liczby $a$, bo tyle wynosi pole kwadratu o boku $a$. $a^3$ to sześcian, bo tyle wynosi objętość sześcianu o krawędzi $a$. Mówisz więc „pięć do kwadratu”, a nie „pięć do drugiej” — oba zapisy znaczą to samo.

Na maturze wiele zadań da się rozwiązać szybciej, gdy znasz na pamięć kilka potęg. Rozpoznasz wtedy, że $64$ to $2^6$, a $81$ to $3^4$, i od razu zapiszesz liczbę jako potęgę.

Znak potęgi i rola nawiasu

Co się dzieje, gdy podstawa jest ujemna? Wystarczy pamiętać, że minus razy minus daje plus. Minusy łączą się więc w pary i każda para znika (Rys. 3). Jeśli czynników jest parzyście wiele, wszystkie minusy tworzą pary i wynik jest dodatni. Jeśli nieparzyście wiele, jeden minus zostaje bez pary i wynik jest ujemny.

$$(-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16$$ $$(-2)^3 = (-2)(-2)(-2) = -8$$

Druga ważna rzecz to nawias. Potęga dotyczy tylko tego, co stoi bezpośrednio pod wykładnikiem. W zapisie $(-3)^2$ podstawą jest $-3$, bo minus jest w nawiasie. W zapisie $-3^2$ podstawą jest samo $3$, a minus stoi przed całą potęgą (Rys. 4). Dlatego:

$$(-3)^2 = 9, \qquad -3^2 = -9$$

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Oblicz $(-2)^5$.

Wykładnik $5$ jest nieparzysty, więc wynik będzie ujemny. Wartość bez znaku to $2^5 = 32$.

$$(-2)^5 = -32$$

Przykład 2. Oblicz $-2^4 + (-2)^4$.

Pierwszy składnik: minus nie jest w nawiasie, więc najpierw liczysz $2^4 = 16$, a potem dopisujesz minus. Wychodzi $-16$.

Drugi składnik: podstawą jest $-2$, wykładnik parzysty, więc wynik dodatni: $16$.

$$-2^4 + (-2)^4 = -16 + 16 = 0$$

Przykład 3. Oblicz $\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2$.

Ułamek potęgujesz tak jak liczbę: mnożysz go przez siebie, czyli osobno potęgujesz licznik i mianownik. Wykładnik $3$ daje wynik ujemny, wykładnik $2$ — dodatni.

$$\left(-\tfrac{1}{2}\right)^3 = -\tfrac{1}{8}$$ $$\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4}$$

Teraz odejmujesz. Sprowadzasz do wspólnego mianownika $8$:

$$-\tfrac{1}{8} - \tfrac{2}{8} = -\tfrac{3}{8}$$

Typowy błąd

Uczniowie liczą $2^3$ jako $2 \cdot 3 = 6$. Wykładnik nie jest czynnikiem — mówi, ile razy podstawa stoi w mnożeniu: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Drugi częsty błąd to $-3^2 = 9$. Zanim zaczniesz liczyć, zawsze zapytaj: „co dokładnie jest podstawą?”.

Sprawdź się

1. Oblicz $(-1)^{101}$.
2. Oblicz $-5^2 - (-5)^2$.
3. Oblicz $\left(\frac{2}{3}\right)^3$.

Odpowiedzi: 1) $-1$ (nieparzysty wykładnik). 2) $-25 - 25 = -50$. 3) $\frac{8}{27}$.

Wykładnik zero i wykładnik ujemny

Definicja z poprzedniego rozdziału mówi o „liczbie czynników”. Nie da się jednak postawić w mnożeniu zera czynników ani minus trzech. Co w takim razie znaczy $2^0$ albo $2^{-3}$? Matematycy nie zgadują tego — ustalają znaczenie tak, żeby dotychczasowe reguły działały dalej. Są dwa sposoby, żeby to zobaczyć.

Schodki w dół

Zapisz potęgi dwójki w kolumnie, od największej. Każdy krok w dół zmniejsza wykładnik o $1$, czyli usuwa jeden czynnik $2$. Usunięcie czynnika to dzielenie przez $2$.

$$2^3 = 8,\quad 2^2 = 4,\quad 2^1 = 2$$

Idź dalej tym samym krokiem, dzieląc przez $2$ (Rys. 5):

$$2^0 = 1,\quad 2^{-1} = \tfrac{1}{2}$$ $$2^{-2} = \tfrac{1}{4},\quad 2^{-3} = \tfrac{1}{8}$$

Nic nie wymyśliłeś na siłę — po prostu nie zmieniłeś reguły schodów. Z tej kolumny widać dwie rzeczy. Po pierwsze, $2^0 = 1$. Po drugie, minus w wykładniku nie robi liczby ujemnej. Robi odwrotność: $2^{-3}$ to $\frac{1}{2^3}$.

Dzielenie potęg

Drugi sposób prowadzi do tego samego wyniku. Gdy dzielisz $2^5$ przez $2^3$, skracasz trzy dwójki z licznika z trzema z mianownika. Zostają dwie, więc $2^5 : 2^3 = 2^2$. Wykładniki się odejmują. Teraz podziel $2^3$ przez $2^3$. Każda liczba podzielona przez siebie daje $1$, a odejmowanie wykładników daje $2^0$. Żeby obie drogi się zgadzały, musi być $2^0 = 1$. Tak samo $2^3 : 2^5$ to z jednej strony $\frac{8}{32} = \frac{1}{4}$, a z drugiej $2^{3-5} = 2^{-2}$.

Dlaczego $a \neq 0$? Bo zero nie ma odwrotności — nie wolno dzielić przez zero. Zapisy $0^0$ i $0^{-2}$ nie mają w szkole sensu. Wzór na ułamek wynika z tego, że odwrotnością $\frac{a}{b}$ jest $\frac{b}{a}$. Minus w wykładniku „przewraca” ułamek, a liczba bez minusa zostaje wykładnikiem.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Oblicz $5^{-2}$.

Minus w wykładniku oznacza odwrotność. Wykładnik bez minusa to $2$.

$$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$$

Przykład 2. Oblicz $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$.

Minus przewraca ułamek, a potem potęgujesz licznik i mianownik osobno.

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{2}\right)^{3} = \frac{27}{8}$$

Przykład 3. Oblicz $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} - 3^0 + 2^{-1}$.

Każdy składnik liczysz osobno. Odwrotnością $\frac{1}{2}$ jest $2$, więc $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$. Każda niezerowa liczba do potęgi zerowej to $1$, więc $3^0 = 1$. Wreszcie $2^{-1} = \frac{1}{2}$.

$$8 - 1 + \tfrac{1}{2} = 7\tfrac{1}{2} = \tfrac{15}{2}$$

Typowy błąd

Najczęstszy błąd to $2^{-3} = -8$ albo $2^{-3} = -6$. Minus w wykładniku nigdy nie zmienia znaku wyniku. Dodatnia podstawa w dowolnej potędze daje liczbę dodatnią. Drugi błąd to $5^0 = 0$ — tymczasem na schodkach przed $5^0$ stoi $5^1 = 5$, a $5 : 5 = 1$.

Sprawdź się

1. Zapisz $10^{-3}$ w postaci ułamka dziesiętnego.
2. Oblicz $(-3)^{-2}$.
3. Oblicz $\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} + (-7)^0$.

Odpowiedzi: 1) $\frac{1}{1000} = 0{,}001$. 2) $\frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}$. 3) $\frac{16}{9} + 1 = \frac{25}{9}$.

Pierwiastki

Potęgowanie odpowiada na pytanie: „ile wyjdzie, gdy liczbę pomnożysz przez siebie kilka razy?”. Pierwiastkowanie zadaje pytanie odwrotne: „jaką liczbę trzeba było pomnożyć przez siebie, żeby wyszedł ten wynik?”. Pierwiastek cofa potęgowanie tak, jak odejmowanie cofa dodawanie.

Wyobraź sobie kwadratowy dywanik ułożony z $49$ płytek. Ile płytek ma jego bok? Szukasz liczby, która pomnożona przez siebie daje $49$. To $7$. Piszesz $\sqrt{49} = 7$ i czytasz „pierwiastek kwadratowy z czterdziestu dziewięciu”. Podobnie kostka zbudowana z $27$ sześciennych klocków ma krawędź z $3$ klocków, bo $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. Piszesz $\sqrt[3]{27} = 3$ (Rys. 6) — to pierwiastek trzeciego stopnia (sześcienny). Mała liczba w „daszku” pierwiastka to jego stopień. Przy pierwiastku kwadratowym stopnia $2$ się nie pisze.

Dlaczego pierwiastek kwadratowy nie jest ujemny

Kwadrat liczby $49$ dają dwie liczby: $7$ i $-7$, bo $(-7)^2 = 49$. Gdyby symbol $\sqrt{49}$ mógł oznaczać obie, nie byłby liczbą — byłby zagadką z dwiema odpowiedziami. Dlatego umówiono się, że $\sqrt{\ }$ oznacza zawsze tę nieujemną. Taki pierwiastek nazywa się arytmetycznym. Liczba $-7$ też spełnia warunek $x^2 = 49$, ale zapisujesz ją jako $-\sqrt{49}$.

Z tej umowy wynika wzór, który sprawia na maturze najwięcej kłopotu. Weź $a = -5$. Wtedy $a^2 = 25$, a $\sqrt{25} = 5$. Pierwiastek „zjadł” minus. Wynik to $5$, czyli $|a|$ — wartość bezwzględna, a nie $a$.

$$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|$$

Minus pod pierwiastkiem

Czy istnieje $\sqrt{-4}$? Szukasz liczby, która pomnożona przez siebie daje $-4$. Plus razy plus to plus, minus razy minus też plus. Żadna liczba rzeczywista w kwadracie nie da wyniku ujemnego. Dlatego pierwiastek kwadratowy — i każdy parzystego stopnia — z liczby ujemnej nie istnieje.

Przy trzech czynnikach jest inaczej. $(-2)(-2)(-2) = -8$, bo jeden minus zostaje bez pary. Dlatego $\sqrt[3]{-8} = -2$ istnieje. Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej jest liczbą ujemną. Minus można wtedy po prostu wyciągnąć przed pierwiastek: $\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8}$.

Pierwiastki, które nie wychodzą równo

Z większości liczb pierwiastek nie jest liczbą całkowitą ani nawet ułamkiem. $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne bez okresu — jest liczbą niewymierną. Na maturze takich pierwiastków nie przybliżasz, tylko zostawiasz w postaci $\sqrt{2}$ albo upraszczasz (rozdział o przekształcaniu wyrażeń).

Często trzeba jednak wiedzieć, między którymi liczbami całkowitymi leży pierwiastek. Wystarczą kwadraty kolejnych liczb. Jeśli liczba pod pierwiastkiem leży między dwoma kwadratami, to pierwiastek leży między ich podstawami.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Oblicz $\sqrt[3]{-125}$.

Stopień $3$ jest nieparzysty, więc pierwiastek istnieje i jest ujemny. Szukasz liczby, której sześcian to $125$: to $5$, bo $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

$$\sqrt[3]{-125} = -5, \quad \text{bo } (-5)^3 = -125$$

Przykład 2. Między którymi kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\sqrt{70}$?

Szukasz kwadratów najbliżej $70$: $8^2 = 64$ i $9^2 = 81$. Skoro $64 < 70 < 81$, to:

$$8 < \sqrt{70} < 9$$

Bliżej jest do $64$, więc $\sqrt{70}$ będzie bliżej $8$ (Rys. 7) (naprawdę $\sqrt{70} \approx 8{,}37$).

Przykład 3. Uprość $\sqrt{(3 - \pi)^2}$.

Ze wzoru $\sqrt{a^2} = |a|$ dostajesz $|3 - \pi|$. Teraz trzeba ustalić znak. $\pi \approx 3{,}14$, więc $3 - \pi$ jest ujemne. Wartość bezwzględna liczby ujemnej to liczba przeciwna.

$$\sqrt{(3-\pi)^2} = |3 - \pi| = \pi - 3$$

Sprawdzenie sensu: wynik musi być dodatni, bo pierwiastek arytmetyczny nie bywa ujemny. $\pi - 3 \approx 0{,}14 > 0$. Zgadza się.

Typowy błąd

Trzy błędy wracają na każdej maturze. Po pierwsze: $\sqrt{9} = \pm 3$ — nieprawda, $\sqrt{9} = 3$. Po drugie: $\sqrt{x^2} = x$ — prawda tylko dla $x \geq 0$; w ogólnym przypadku $\sqrt{x^2} = |x|$. Po trzecie: $\sqrt{-4} = -2$ — nieprawda, bo $(-2)^2 = 4$, a nie $-4$. Zawsze sprawdzaj wynik pierwiastka potęgowaniem.

Sprawdź się

1. Oblicz $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$.
2. Uprość $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$. Wskazówka: $\sqrt{5} \approx 2{,}24$.
3. Między którymi kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\sqrt{30}$?

Odpowiedzi: 1) $-\frac{1}{2}$, bo $\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}$. 2) $2 - \sqrt{5} < 0$, więc wynik to $\sqrt{5} - 2$. 3) Między $5$ a $6$, bo $25 < 30 < 36$.

Prawa działań na potęgach

Prawa działań to skróty, które pozwalają liczyć na potęgach bez rozpisywania ich na czynniki. Nie trzeba ich wkuwać jako obcych reguł. Każde wynika z liczenia czynników — i w razie wątpliwości zawsze możesz je odtworzyć na małych liczbach.

Mnożenie potęg o tej samej podstawie. $2^3 \cdot 2^4$ to trzy dwójki razy cztery dwójki, razem siedem dwójek. Wykładniki się dodają: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$.

Dzielenie potęg o tej samej podstawie. $2^5 : 2^3$ — pięć dwójek w liczniku, trzy w mianowniku. Po skróceniu zostają dwie. Wykładniki się odejmują: $2^5 : 2^3 = 2^2$.

Potęga potęgi. $(2^3)^4$ to cztery razy po trzy dwójki, czyli dwanaście dwójek. Wykładniki się mnożą (Rys. 8): $(2^3)^4 = 2^{12}$.

Potęga iloczynu i ilorazu. $(2 \cdot 5)^3 = (2 \cdot 5)(2 \cdot 5)(2 \cdot 5)$. Kolejność czynników w mnożeniu nie ma znaczenia, więc możesz zebrać osobno dwójki i piątki: $2^3 \cdot 5^3$. Tak samo z ilorazem: $\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4}$.

Prawa te działają też dla wykładnika zero i ujemnego — właśnie tak te wykładniki zdefiniowano. Sprawdź na liczbach: $2^5 \cdot 2^{-2} = 2^3 = 8$, a z drugiej strony $32 \cdot \frac{1}{4} = 8$.

Różne podstawy — sprowadź do wspólnej

Prawa mnożenia i dzielenia działają tylko przy tej samej podstawie. Co zrobić z $8^3 \cdot 4^{-2} : 2^5$? Zauważ, że $8$ i $4$ to potęgi dwójki: $8 = 2^3$, $4 = 2^2$. Zamieniasz każdą podstawę na potęgę dwójki i korzystasz z potęgi potęgi.

$$8^3 = (2^3)^3 = 2^9, \qquad 4^{-2} = (2^2)^{-2} = 2^{-4}$$ $$2^9 \cdot 2^{-4} : 2^5 = 2^{9 - 4 - 5} = 2^0 = 1$$

Dlatego warto znać tabelę potęg z pierwszego rozdziału. Najczęstsze wspólne podstawy na maturze to $2$ (dla $4$, $8$, $16$, $32$), $3$ (dla $9$, $27$, $81$) i $5$ (dla $25$, $125$).

Czego prawa nie mówią: suma

Nie ma prawa na dodawanie potęg. $2^3 + 2^4$ to $8 + 16 = 24$, a $2^7 = 128$. Sumy nie da się zamienić na jedną potęgę przez dodanie wykładników. Można natomiast wyłączyć wspólny czynnik przed nawias — tak jak w $3x + 6x = 3x(1 + 2)$. Wyłączasz najmniejszą potęgę, bo każda większa jest jej wielokrotnością.

$$2^3 + 2^4 = 2^3 + 2^3 \cdot 2 = 2^3(1 + 2) = 3 \cdot 2^3$$

Ten sposób przydaje się w zadaniach o podzielności. Jeśli po wyłączeniu przed nawiasem stoi liczba, a w nawiasie liczba $k$, to cała suma dzieli się przez $k$.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Oblicz $3^4 \cdot 3^{-6}$.

Podstawy są równe, więc dodajesz wykładniki. Potem zamieniasz ujemny wykładnik na odwrotność.

$$3^4 \cdot 3^{-6} = 3^{4 + (-6)} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$$

Przykład 2. Oblicz $(2^3)^4 : 4^5$.

Najpierw potęga potęgi: $(2^3)^4 = 2^{12}$. Potem wspólna podstawa: $4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$. Na końcu dzielenie.

$$2^{12} : 2^{10} = 2^{2} = 4$$

Przykład 3. Oblicz $\dfrac{25^3 \cdot 5^{-4}}{125^2}$.

Wszystkie podstawy są potęgami piątki: $25 = 5^2$, $125 = 5^3$.

$$25^3 = 5^6, \qquad 125^2 = 5^6$$

Licznik: dodajesz wykładniki. Potem dzielisz przez mianownik, czyli odejmujesz.

$$\frac{5^6 \cdot 5^{-4}}{5^6} = \frac{5^2}{5^6} = 5^{-4} = \frac{1}{625}$$

Przykład 4. Wykaż, że liczba $4^5 + 2^9$ jest podzielna przez $3$.

Najpierw wspólna podstawa: $4^5 = 2^{10}$. Potem wyłączasz mniejszą potęgę, czyli $2^9$.

$$2^{10} + 2^9 = 2^9 \cdot 2 + 2^9 = 2^9(2 + 1) = 3 \cdot 2^9$$

Liczba ma postać $3 \cdot k$, gdzie $k = 2^9$ jest liczbą całkowitą. Jest więc podzielna przez $3$.

Typowy błąd

Trzy pułapki: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$ (podstawy się nie mnożą — zostaje $2^7$), $2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}$ (przy mnożeniu wykładniki się dodają, a mnożą dopiero przy potędze potęgi), $2^3 + 2^4 = 2^7$ (suma nie ma prawa). Jeśli nie jesteś pewien, sprawdź na małych liczbach, np. $2^1 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8 = 2^3$.

Sprawdź się

1. Oblicz $5^7 : 5^9$.
2. Oblicz $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \cdot 2^{-3}$.
3. Zapisz $6^{10} - 6^9$ w postaci $k \cdot 6^9$.

Odpowiedzi: 1) $5^{-2} = \frac{1}{25}$. 2) $2^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$. 3) $6^9(6 - 1) = 5 \cdot 6^9$, czyli $k = 5$.

Wykładnik wymierny

Znasz już potęgi o wykładniku całkowitym. Co może oznaczać $9^{\frac{1}{2}}$? Znów nie zgadujesz, tylko żądasz, żeby prawa działań obowiązywały dalej. Potęga potęgi mówi, że wykładniki się mnożą. Podnieś więc $9^{\frac{1}{2}}$ do kwadratu:

$$\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^2 = 9^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^1 = 9$$

Szukasz więc liczby, która podniesiona do kwadratu daje $9$. To jest dokładnie pierwiastek: $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$. Tak samo $8^{\frac{1}{3}}$ po podniesieniu do sześcianu daje $8$, więc $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$. Mianownik wykładnika to stopień pierwiastka.

W filmie padł dobry obraz: dwa „pół kroki” dają cały krok. Mnożenie dwa razy przez $\sqrt{2}$ to to samo, co jedno mnożenie przez $2$. Dlatego $2^{\frac{1}{2}}$ to $\sqrt{2}$ — pół kroku na schodkach potęg dwójki (Rys. 9).

Gdy licznik wykładnika jest większy niż $1$, np. $8^{\frac{2}{3}}$, rozbijasz wykładnik: $\frac{2}{3} = \frac{1}{3} \cdot 2$. Najpierw pierwiastek trzeciego stopnia, potem kwadrat. Kolejność może być też odwrotna — wynik jest ten sam. Liczysz jednak zwykle najpierw pierwiastek, bo wtedy liczby są mniejsze.

Warunek $a > 0$ jest potrzebny, bo pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie istnieje, a dla $a = 0$ nie działa wykładnik ujemny. Dla dodatnich podstaw wszystkie prawa działań z poprzedniego rozdziału obowiązują także dla wykładników wymiernych. To bardzo przydatne: każdy pierwiastek możesz zamienić na potęgę i liczyć na wykładnikach jak na zwykłych ułamkach.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Oblicz $27^{\frac{2}{3}}$.

Mianownik $3$ to stopień pierwiastka, licznik $2$ to potęga. Najpierw pierwiastek, bo daje małą liczbę.

$$27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9$$

Przykład 2. Oblicz $81^{-\frac{3}{4}}$.

Minus daje odwrotność. Potem mianownik $4$ to pierwiastek czwartego stopnia: $\sqrt[4]{81} = 3$, bo $3^4 = 81$. Na końcu potęga $3$.

$$81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{\left(\sqrt[4]{81}\right)^3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$$

Przykład 3. Oblicz $\dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}}$.

Każdy pierwiastek zamieniasz na potęgę trójki. $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$. Pod drugim pierwiastkiem jest $9 = 3^2$, więc $\sqrt[3]{9} = 3^{\frac{2}{3}}$. Wreszcie $\sqrt[6]{3} = 3^{\frac{1}{6}}$.

Teraz prawa działań: w liczniku dodajesz wykładniki, mianownik odejmujesz.

$$3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}}$$

Liczysz wykładnik na wspólnym mianowniku $6$:

$$\frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

Wynik to $3^1 = 3$. Trzy różne pierwiastki dały liczbę całkowitą — to częsty „efekt” zadań maturalnych i dobry znak, że nie pomyliłeś się w rachunku.

Typowy błąd

Wykładnik $\frac{1}{3}$ nie oznacza dzielenia przez $3$: $8^{\frac{1}{3}} = 2$, a nie $\frac{8}{3}$. Minus w wykładniku ułamkowym dalej oznacza odwrotność: $4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$, a nie $-2$. Uważaj też, który pierwiastek odpowiada której liczbie: w $a^{\frac{m}{n}}$ stopień pierwiastka to $n$ (mianownik), nie $m$.

Sprawdź się

1. Oblicz $32^{0{,}4}$. Wskazówka: $0{,}4 = \frac{2}{5}$.
2. Oblicz $9^{-1{,}5}$.
3. Zapisz $\sqrt{7} \cdot \sqrt[3]{7}$ jako jedną potęgę liczby $7$.

Odpowiedzi: 1) $\left(\sqrt[5]{32}\right)^2 = 2^2 = 4$. 2) $9^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$. 3) $7^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = 7^{\frac{5}{6}}$. Liczba $32^{-\frac{3}{5}}$ z ramki to $\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^3} = \frac{1}{8}$.

Przekształcanie wyrażeń z pierwiastkami

Skoro pierwiastek to potęga o wykładniku $\frac{1}{n}$, to prawo potęgi iloczynu daje od razu prawo dla pierwiastków: pierwiastek z iloczynu to iloczyn pierwiastków. Sprawdź na liczbach: $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$ oraz $\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$. To samo działa dla ilorazu.

Tego prawa używasz na maturze w dwóch kierunkach. W jedną stronę łączysz pierwiastki w jeden. W drugą — rozbijasz liczbę pod pierwiastkiem na czynniki, żeby część z nich „wyszła” przed pierwiastek.

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Pod pierwiastkiem szukasz największego kwadratu, który dzieli daną liczbę. Rozbijasz liczbę na iloczyn tego kwadratu i reszty. Pierwiastek z kwadratu jest liczbą całkowitą, więc wychodzi przed znak pierwiastka.

$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$

Po co to robić? Po pierwsze, wynik w odpowiedziach maturalnych zwykle ma właśnie taką postać. Po drugie, dopiero po wyłączeniu widać, które pierwiastki są „tego samego rodzaju” i można je dodać. Dodajesz je tak jak wyrażenia z literą: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$, tak jak $3x + 5x = 8x$. Natomiast $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ nie da się uprościć — to różne „litery”.

Przy pierwiastku trzeciego stopnia szukasz największego sześcianu: $8$, $27$, $64$, $125$. Na przykład $\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5}$.

Działa to też odwrotnie — możesz włączyć czynnik pod pierwiastek, podnosząc go do kwadratu: $3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$. Przydaje się, gdy chcesz porównać liczby, np. $3\sqrt{2}$ i $2\sqrt{5}$: to $\sqrt{18}$ i $\sqrt{20}$, więc większa jest druga.

Usuwanie niewymierności z mianownika

Ułamek $\frac{10}{\sqrt{5}}$ jest poprawny, ale niewygodny: trudno go dodać do innego, trudno oszacować. Umówiono się, że wynik zapisuje się bez pierwiastka w mianowniku. Pomysł jest prosty: mnożysz licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Wartość ułamka się nie zmienia, bo to tak, jakbyś mnożył przez $1$.

Gdy w mianowniku jest sam pierwiastek $\sqrt{b}$, mnożysz przez $\sqrt{b}$, bo $\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b$.

$$\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5}$$ $$\frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$$

Gdy w mianowniku jest suma albo różnica, np. $\sqrt{7} + 1$, mnożenie przez $\sqrt{7}$ nie pomoże — pierwiastek zostanie. Korzystasz wtedy ze wzoru skróconego mnożenia:

$$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$$

Jeśli $x$ albo $y$ jest pierwiastkiem, to po podniesieniu do kwadratu pierwiastek znika. Mnożysz więc przez to samo wyrażenie z przeciwnym znakiem w środku. Nazywa się ono sprzężeniem: sprzężeniem $\sqrt{7} + 1$ jest $\sqrt{7} - 1$.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Uprość $\sqrt{50} - \sqrt{18} + \sqrt{8}$.

Każdy pierwiastek upraszczasz osobno, szukając największego kwadratu:

$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$$ $$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$$ $$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$$

Teraz wszystkie składniki są „tego samego rodzaju” (Rys. 10) — dodajesz współczynniki.

$$5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

Przykład 2. Uprość $\sqrt{300}$.

Największy kwadrat dzielący $300$ to $100$. (Jeśli wybierzesz mniejszy, np. $4$, dostaniesz $2\sqrt{75}$ i trzeba będzie upraszczać dalej.)

$$\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$$

Przykład 3. Usuń niewymierność z mianownika: $\dfrac{6}{\sqrt{7} + 1}$.

Sprzężeniem mianownika jest $\sqrt{7} - 1$. Mnożysz przez nie licznik i mianownik.

$$\frac{6}{\sqrt{7} + 1} \cdot \frac{\sqrt{7} - 1}{\sqrt{7} - 1}$$

W mianowniku wzór skróconego mnożenia:

$$(\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1) = 7 - 1 = 6$$

Licznik to $6(\sqrt{7} - 1)$. Szóstki się skracają.

$$\frac{6(\sqrt{7} - 1)}{6} = \sqrt{7} - 1$$

Sprawdzenie przybliżone: $\sqrt{7} \approx 2{,}65$, więc przed przekształceniem $\frac{6}{3{,}65} \approx 1{,}64$, a po nim $2{,}65 - 1 = 1{,}65$. Zgadza się (różnica wynika z zaokrągleń).

Typowy błąd

Największy błąd to rozbijanie pierwiastka z sumy: $\sqrt{9 + 16} \neq \sqrt{9} + \sqrt{16}$. Lewa strona to $\sqrt{25} = 5$, prawa to $3 + 4 = 7$. Prawo działa tylko dla iloczynu i ilorazu. Z tego samego powodu $\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5}$. Drugi błąd: przy sprzężeniu uczniowie mnożą tylko mianownik albo zapominają o nawiasie w liczniku.

Sprawdź się

1. Uprość $\sqrt{98}$.
2. Usuń niewymierność z mianownika: $\frac{15}{\sqrt{3}}$.
3. Usuń niewymierność z mianownika: $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$.

Odpowiedzi: 1) $\sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$. 2) $\frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$. 3) $\frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} + 1$.

Porównywanie potęg

Często zadanie nie pyta „ile to jest”, tylko „która liczba jest większa”. Obliczanie $3^{20}$ na piechotę zajęłoby dużo czasu. Da się to rozstrzygnąć bez liczenia, jeśli rozumiesz, jak potęga zmienia się razem z wykładnikiem.

Wróć do schodków. Przy podstawie $2$ każdy krok w górę to mnożenie przez $2$, więc liczby rosną: większy wykładnik — większa potęga. Przy podstawie $\frac{1}{2}$ każdy krok w górę to mnożenie przez $\frac{1}{2}$, czyli branie połowy. Liczby maleją: większy wykładnik — mniejsza potęga. $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$, a $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$. Tę własność nazywa się monotonicznością potęgowania (Rys. 11). Działa ona dla wszystkich wykładników, także ujemnych i ułamkowych.

Są dwa sposoby porównywania potęg o różnych podstawach.

Wspólna podstawa. Jeśli podstawy są potęgami tej samej liczby, zamieniasz je i porównujesz same wykładniki. W filmie tak porównaliśmy $27^3$ i $9^4$: to $3^9$ i $3^8$.

Wspólny wykładnik. Jeśli podstawy są różne, ale wykładniki mają wspólny dzielnik, zapisujesz obie liczby jako potęgi z tym samym wykładnikiem. Dla dodatnich podstaw i dodatniego wykładnika większa podstawa daje większą potęgę.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Która liczba jest większa: $(0{,}3)^5$ czy $(0{,}3)^7$?

Podstawa $0{,}3$ leży między $0$ a $1$, więc większy wykładnik daje mniejszą liczbę. $5 < 7$, zatem:

$$(0{,}3)^5 > (0{,}3)^7$$

Przykład 2. Porównaj $2^{30}$ i $3^{20}$.

Podstaw nie da się sprowadzić do wspólnej. Ale wykładniki $30$ i $20$ mają wspólny dzielnik $10$. Zapisujesz obie liczby jako potęgi dziesiątego stopnia:

$$2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}, \qquad 3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$$

Wykładniki są równe, a $8 < 9$, więc $2^{30} < 3^{20}$.

Przykład 3. Porównaj $5^{-\frac{1}{2}}$ i $25^{-\frac{1}{3}}$.

Sprowadzasz do wspólnej podstawy $5$:

$$25^{-\frac{1}{3}} = (5^2)^{-\frac{1}{3}} = 5^{-\frac{2}{3}}$$

Podstawa $5 > 1$, więc większy wykładnik daje większą liczbę. Porównujesz $-\frac{1}{2}$ i $-\frac{2}{3}$, czyli $-\frac{3}{6}$ i $-\frac{4}{6}$. Większe jest $-\frac{3}{6}$. Zatem $5^{-\frac{1}{2}} > 25^{-\frac{1}{3}}$.

Typowy błąd

Uczniowie zapominają, że przy podstawie z przedziału $(0, 1)$ nierówność się odwraca. Zanim porównasz wykładniki, zawsze najpierw spójrz na podstawę: czy jest większa od $1$, czy mniejsza. Drugi błąd to porównywanie samych wykładników przy różnych podstawach: $2^{30}$ ma większy wykładnik niż $3^{20}$, a jest mniejsze.

Sprawdź się

1. Która liczba jest większa: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$ czy $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$?
2. Porównaj $16^5$ i $8^7$.
3. Porównaj $\sqrt{2}$ i $\sqrt[3]{3}$. Wskazówka: podnieś obie liczby do potęgi $6$.

Odpowiedzi: 1) Podstawa $< 1$, a $-3 < -2$, więc większa jest $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \frac{27}{8}$ (druga to $\frac{9}{4}$). 2) $2^{20}$ i $2^{21}$ — większe jest $8^7$. 3) $(\sqrt{2})^6 = 8$, $(\sqrt[3]{3})^6 = 9$, więc większe jest $\sqrt[3]{3}$.

Notacja wykładnicza

Masa Ziemi to około $6\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000$ kg, a średnica bakterii to około $0{,}000\,002$ m. W takich liczbach łatwo zgubić zero, a porównywanie ich „na oko” nie działa. Notacja wykładnicza zapisuje liczbę jako iloczyn zwykłej liczby i potęgi dziesiątki. Masa Ziemi to $6 \cdot 10^{24}$ kg, średnica bakterii to $2 \cdot 10^{-6}$ m.

Mnożenie przez $10$ przesuwa przecinek o jedno miejsce w prawo, a mnożenie przez $10^{-1}$ — o jedno w lewo. Wykładnik mówi więc, o ile miejsc i w którą stronę przesunąć przecinek. Dodatni wykładnik oznacza liczbę dużą, ujemny — małą (mniejszą od $1$).

Warunek $1 \leq a < 10$ sprawia, że każda liczba ma dokładnie jeden taki zapis. Przed przecinkiem w $a$ stoi dokładnie jedna cyfra różna od zera. Zapis $32 \cdot 10^5$ jest poprawny rachunkowo, ale to jeszcze nie notacja wykładnicza — trzeba go „znormalizować” do $3{,}2 \cdot 10^6$.

Rachunki w notacji wykładniczej to po prostu prawa działań na potęgach dziesiątki. Mnożysz osobno liczby $a$, osobno potęgi $10$ (wykładniki dodajesz), a na końcu poprawiasz postać.

Ile cyfr ma liczba?

Liczba $10^n$ to jedynka i $n$ zer, czyli ma $n + 1$ cyfr. Jeśli liczba ma postać $a \cdot 10^n$ z $1 \leq a < 10$, to też ma $n + 1$ cyfr (przed przecinkiem w $a$ jest jedna cyfra, a potem przecinek przesuwa się o $n$ miejsc). Przydaje się tu prawo potęgi iloczynu: $2^n \cdot 5^n = (2 \cdot 5)^n = 10^n$. Gdy w liczbie są dwójki i piątki, łączysz je w pary, które dają dziesiątki.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Zapisz w notacji wykładniczej $3\,200\,000$ i $0{,}000\,047$.

W pierwszej liczbie przesuwasz przecinek w lewo, aż przed nim zostanie jedna cyfra: $3{,}2$. Przesunąłeś go o $6$ miejsc, więc $3\,200\,000 = 3{,}2 \cdot 10^6$.

W drugiej przesuwasz przecinek w prawo do pierwszej cyfry różnej od zera: $4{,}7$. To $5$ miejsc w prawo, więc wykładnik jest ujemny (Rys. 12): $0{,}000\,047 = 4{,}7 \cdot 10^{-5}$.

Przykład 2. Oblicz $(6 \cdot 10^8) \cdot (5 \cdot 10^{-3})$ i zapisz wynik w notacji wykładniczej.

Mnożysz osobno liczby i osobno potęgi dziesiątki:

$$6 \cdot 5 = 30, \qquad 10^8 \cdot 10^{-3} = 10^5$$

Wynik $30 \cdot 10^5$ nie ma jeszcze właściwej postaci, bo $30 \geq 10$. Zapisujesz $30 = 3 \cdot 10^1$:

$$30 \cdot 10^5 = 3 \cdot 10^1 \cdot 10^5 = 3 \cdot 10^6$$

Przykład 3. Oblicz $\dfrac{1{,}2 \cdot 10^{-4}}{4 \cdot 10^{-9}}$.

Dzielisz osobno liczby i osobno potęgi. Przy dzieleniu potęg wykładniki odejmujesz — uważaj na minusy.

$$\frac{1{,}2}{4} = 0{,}3$$ $$\frac{10^{-4}}{10^{-9}} = 10^{-4 - (-9)} = 10^5$$

Wynik $0{,}3 \cdot 10^5$ poprawiasz, bo $0{,}3 < 1$: $0{,}3 = 3 \cdot 10^{-1}$.

$$0{,}3 \cdot 10^5 = 3 \cdot 10^4$$

Przykład 4. Ile cyfr ma liczba $2^{10} \cdot 5^8$?

Łączysz w pary tyle dwójek, ile jest piątek, czyli osiem. Zostają dwie dwójki.

$$2^{10} \cdot 5^8 = 2^2 \cdot (2^8 \cdot 5^8) = 4 \cdot 10^8$$

Liczba $4 \cdot 10^8 = 400\,000\,000$ ma $9$ cyfr.

Typowy błąd

Błąd pierwszy: wynik zostawiony w postaci $30 \cdot 10^5$ albo $0{,}3 \cdot 10^5$ — rachunkowo dobrze, ale to nie jest notacja wykładnicza. Błąd drugi: przy dzieleniu $10^{-4} : 10^{-9}$ uczniowie piszą $10^{-13}$ albo $10^{-5}$. Odejmujesz wykładnik mianownika w całości, razem z jego minusem. Błąd trzeci: liczba $10^n$ ma $n + 1$ cyfr, a nie $n$.

Sprawdź się

1. Zapisz $0{,}000\,602$ w notacji wykładniczej.
2. Oblicz $(2{,}5 \cdot 10^7) \cdot (4 \cdot 10^{-3})$ i zapisz wynik w notacji wykładniczej.
3. Ile cyfr ma liczba $5^{12} \cdot 2^{10}$?

Odpowiedzi: 1) $6{,}02 \cdot 10^{-4}$. 2) $10 \cdot 10^4 = 1 \cdot 10^5$. 3) $5^2 \cdot 10^{10} = 25 \cdot 10^{10} = 2{,}5 \cdot 10^{11}$, czyli $12$ cyfr.

Najczęstsze błędy na maturze

• Minus bez nawiasu. $-3^2 = -9$, a $(-3)^2 = 9$. Zawsze ustal, co jest podstawą.
• Minus w wykładniku. $2^{-3} = \frac{1}{8}$, a nie $-8$. Wykładnik ujemny robi odwrotność, nie liczbę ujemną.
• Potęga zerowa. $a^0 = 1$ dla każdego $a \neq 0$, nie $0$.
• Znak pierwiastka. $\sqrt{9} = 3$, nie $\pm 3$; $\sqrt{x^2} = |x|$, nie $x$.
• Pierwiastek z sumy. $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$; tak samo $\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5}$.
• Suma potęg. $2^3 + 2^4 \neq 2^7$. Sumę potęg upraszczasz, wyłączając wspólny czynnik.
• Mylenie praw. Przy mnożeniu wykładniki się dodają, przy potędze potęgi — mnożą. Podstawy nigdy się nie mnożą: $2^3 \cdot 2^4 \neq 4^7$.
• Wykładnik ułamkowy. $8^{\frac{1}{3}} = 2$, nie $\frac{8}{3}$; mianownik wykładnika to stopień pierwiastka.
• Niewymierność. Licznik i mianownik mnożysz przez to samo; przy sumie w mianowniku — przez sprzężenie.
• Monotoniczność. Przy podstawie z przedziału $(0, 1)$ większy wykładnik daje mniejszą liczbę.
• Notacja wykładnicza. W $a \cdot 10^k$ musi być $1 \leq a < 10$; $30 \cdot 10^5$ trzeba poprawić na $3 \cdot 10^6$.