Logarytmy

Logarytm — pytanie o wykładnik

Przy potęgach pytanie brzmiało: „ile wyjdzie, gdy $2$ podniesiesz do piątej?”. Odpowiedź to $2^5 = 32$. Można jednak zapytać odwrotnie: „do jakiej potęgi trzeba podnieść $2$, żeby wyszło $32$?”. Znasz podstawę i wynik, a szukasz wykładnika. Odpowiedź na takie pytanie nazywa się logarytmem.

Zapisujesz to jako $\log_2 32 = 5$ i czytasz „logarytm przy podstawie dwa z trzydziestu dwóch równa się pięć”. Liczba na dole to podstawa logarytmu — ta sama co podstawa potęgi. Liczba obok to liczba logarytmowana — wynik potęgowania. Sam logarytm jest wykładnikiem.

Pierwiastek też cofa potęgowanie, ale szuka podstawy: $\sqrt[5]{32} = 2$, bo $2^5 = 32$. Logarytm szuka drugiej brakującej liczby — wykładnika. W równości $2^5 = 32$ są trzy liczby. Gdy brakuje wyniku, potęgujesz; gdy brakuje podstawy, pierwiastkujesz; gdy brakuje wykładnika, logarytmujesz (Rys. 1).

Po co osobne pojęcie? Weź równanie $2^x = 10$. Rozwiązanie istnieje — skoro $2^3 = 8$ i $2^4 = 16$, to $x$ leży gdzieś między $3$ a $4$ — ale nie jest ani liczbą całkowitą, ani ładnym ułamkiem. Potrzebny jest więc symbol, który tę liczbę nazywa dokładnie. Tym symbolem jest $\log_2 10$. Tak samo $\sqrt{2}$ jest dokładną nazwą liczby, której kwadrat to $2$, choć jej rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy.

Pomaga obraz „schodków” z potęg dwójki: $\log_2 b$ mówi, na którym stopniu stoi liczba $b$. Liczba $32$ stoi na piątym, liczba $1$ na zerowym, a $\frac{1}{4}$ — na stopniu $-2$ (Rys. 2).

Skąd warunki w definicji

Każdy warunek ma powód. Podstawa musi być dodatnia, bo potęgi liczby ujemnej skaczą ze znakiem ($(-2)^2 = 4$, $(-2)^3 = -8$), a dla wielu wykładników ułamkowych w ogóle nie istnieją. Podstawa nie może być równa $1$, bo $1$ w każdej potędze daje $1$ — pytanie „do jakiej potęgi podnieść $1$, żeby dostać $5$?” nie ma odpowiedzi, a „żeby dostać $1$?” ma ich nieskończenie wiele.

Liczba logarytmowana musi być dodatnia, bo dodatnia podstawa w dowolnej potędze daje wynik dodatni. Nie istnieje więc $\log_2 (-8)$ ani $\log_2 0$. Uwaga: sam logarytm (wynik) może być ujemny albo zerowy — ograniczenia dotyczą tylko podstawy i liczby logarytmowanej.

Dwa zapisy jednej równości

Każdą równość z potęgą można przepisać na logarytm i odwrotnie. Podstawa zostaje podstawą, wykładnik staje się logarytmem, a wynik potęgowania — liczbą logarytmowaną (Rys. 3). Przy przepisywaniu nie liczysz niczego nowego, tylko zmieniasz sposób zapisu tej samej informacji.

Z tabeli widać, że logarytm może być liczbą ujemną albo ułamkiem — tak jak wykładnik. W ostatnim wierszu wykładnik $\frac{1}{2}$ oznacza pierwiastek kwadratowy, co znasz z potęg o wykładniku wymiernym.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Oblicz $\log_2 32$.

Pytasz: do jakiej potęgi podnieść $2$, żeby dostać $32$? Wypisujesz potęgi dwójki: $2, 4, 8, 16, 32$. Piąta potęga daje $32$.

$$\log_2 32 = 5, \quad \text{bo } 2^5 = 32$$

Przykład 2. Oblicz $\log_7 1$ oraz $\log_7 7$.

Każda dopuszczalna podstawa w potędze zerowej daje $1$, a w potędze pierwszej — samą siebie.

$$\log_7 1 = 0, \quad \text{bo } 7^0 = 1$$ $$\log_7 7 = 1, \quad \text{bo } 7^1 = 7$$

Przykład 3. Które z zapisów $\log_{-2} 4$, $\log_1 5$, $\log_5 (-25)$, $\log_{\frac{1}{2}} 4$ mają sens?

Sprawdzasz trzy warunki. Podstawa $-2$ jest ujemna — zapis nie ma sensu. Podstawa $1$ jest wykluczona. Liczba logarytmowana $-25$ jest ujemna — też nie. Zostaje $\log_{\frac{1}{2}} 4$: podstawa dodatnia i różna od $1$, liczba logarytmowana dodatnia. Ten logarytm istnieje (i jest równy $-2$, bo $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$).

Typowy błąd

Uczniowie liczą $\log_2 8$ jako $8 : 2 = 4$ albo jako $2^8 = 256$. Logarytm nie jest ani dzieleniem, ani potęgowaniem — to wykładnik: $\log_2 8 = 3$, bo $2^3 = 8$. Drugi błąd to przekonanie, że logarytm nie może być ujemny. Może: $\log_2 \frac{1}{8} = -3$, bo $2^{-3} = \frac{1}{8}$. Nie może być ujemna tylko liczba logarytmowana.

Sprawdź się

1. Oblicz $\log_3 243$.
2. Oblicz $\log_{11} 11 + \log_{11} 1$.
3. Czy istnieje $\log_4 0$? Uzasadnij.

Odpowiedzi: 1) $5$, bo $3^5 = 243$. 2) $1 + 0 = 1$. 3) Nie — żadna potęga liczby $4$ nie jest równa $0$, a liczba logarytmowana musi być dodatnia.

Obliczanie logarytmów z definicji

Gdy wynik jest liczbą całkowitą, wystarczą schodki potęg. Częściej jednak podstawa i liczba logarytmowana to różne liczby, np. $\log_{16} 8$. Nie ma naturalnej liczby $c$, dla której $16^c = 8$. Wtedy korzystasz z tego, co znasz z tematu o potęgach: sprowadzasz obie liczby do wspólnej podstawy.

Metoda ma trzy kroki. Najpierw oznaczasz szukany logarytm literą $x$ i przepisujesz go na potęgę. Potem zapisujesz obie strony jako potęgi tej samej liczby. Na końcu porównujesz wykładniki — bo przy tej samej podstawie (dodatniej i różnej od $1$) równe potęgi mają równe wykładniki.

Równość $\log_a a^n = n$ jest najważniejszym narzędziem tego rozdziału. Jeśli liczbę logarytmowaną uda się zapisać jako potęgę podstawy, wynik czytasz wprost z wykładnika — także ułamkowego i ujemnego.

Jak wybrać wspólną podstawę? Szukasz najmniejszej liczby, której potęgami są obie dane liczby — zwykle $2$, $3$, $5$ albo $10$. Rozkład na czynniki pierwsze od razu ją pokazuje: $16 = 2^4$ i $8 = 2^3$, więc podstawą jest $2$. Pierwiastki zamieniasz na potęgi o wykładniku ułamkowym ($\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$), a ułamki typu $\frac{1}{3}$ — na potęgi o wykładniku ujemnym ($3^{-1}$). Wtedy każda liczba w zadaniu jest potęgą tej samej podstawy i zostaje tylko rachunek na wykładnikach.

Równość $a^{\log_a b} = b$ przydaje się rzadziej, ale warto rozumieć, skąd się bierze. $\log_3 7$ to wykładnik, który zamienia $3$ w $7$. Gdy podniesiesz $3$ do tego wykładnika, dostaniesz więc $7$: $3^{\log_3 7} = 7$. Nie musisz znać przybliżenia $\log_3 7$, żeby to zobaczyć.

Nie każdy logarytm da się obliczyć przez wspólną podstawę. Liczby $2$ i $3$ nie są potęgami wspólnej liczby, więc $\log_2 3$ nie jest ani całkowity, ani ułamkiem. Gdyby było $\log_2 3 = \frac{m}{n}$, to $2^m = 3^n$ — ale lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta. Taki logarytm zostawiasz w zapisie $\log_2 3$ albo szacujesz (ostatni rozdział).

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Oblicz $\log_{16} 8$.

Oznaczasz $\log_{16} 8 = x$ i przepisujesz na potęgę:

$$16^x = 8$$

Obie liczby to potęgi dwójki: $16 = 2^4$, $8 = 2^3$.

$$(2^4)^x = 2^3$$ $$2^{4x} = 2^3$$

Podstawy są równe, więc wykładniki też: $4x = 3$, czyli $x = \frac{3}{4}$ (Rys. 4).

Sprawdzenie sensu: $8$ jest mniejsze od $16$, więc wykładnik musi być mniejszy od $1$. Jest.

Przykład 2. Oblicz $\log_{\frac{1}{3}} 27$.

Zapisujesz obie liczby jako potęgi trójki: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, $27 = 3^3$.

$$\left(3^{-1}\right)^x = 3^3$$ $$3^{-x} = 3^3$$

Stąd $-x = 3$, czyli $x = -3$. Wynik jest ujemny, bo podstawa jest mniejsza od $1$, a liczba logarytmowana większa od $1$.

Przykład 3. Oblicz $\log_2 \left(4\sqrt{2}\right)$.

Zapisujesz liczbę logarytmowaną jako jedną potęgę dwójki. $4 = 2^2$, $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$, więc:

$$4\sqrt{2} = 2^{2 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}}$$ $$\log_2 2^{\frac{5}{2}} = \frac{5}{2}$$

Przykład 4. Wyznacz $x$, jeśli $\log_x 16 = 4$ (dla $x > 0$, $x \neq 1$).

Przepisujesz na potęgę: $x^4 = 16$. Szukasz dodatniej liczby, której czwarta potęga to $16$:

$$x = \sqrt[4]{16} = 2$$

Liczba $-2$ też daje $(-2)^4 = 16$, ale odpada, bo podstawa logarytmu musi być dodatnia.

Typowy błąd

Przy $\log_{16} 8$ uczniowie porównują od razu $16$ z $8$ i piszą $\frac{16}{8} = 2$ albo $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$. Sprawdź potęgą: $16^{\frac{1}{2}} = 4$, a nie $8$. Dzielenie liczb nic nie mówi o wykładniku — trzeba sprowadzić do wspólnej podstawy. Drugi błąd: przy podstawie $\frac{1}{3}$ zgubiony minus i wynik $3$ zamiast $-3$. Zawsze sprawdź wynik potęgowaniem.

Sprawdź się

1. Oblicz $\log_{27} 9$.
2. Oblicz $\log_5 \frac{1}{\sqrt{5}}$.
3. Wyznacz $b$, jeśli $\log_3 b = -2$.

Odpowiedzi: 1) $3^{3x} = 3^2$, więc $x = \frac{2}{3}$. 2) $\frac{1}{\sqrt{5}} = 5^{-\frac{1}{2}}$, więc $-\frac{1}{2}$. 3) $b = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

Logarytm iloczynu i ilorazu

Prawa działań na logarytmach nie są nowymi regułami — to prawa działań na potęgach, tylko opowiedziane „od strony wykładnika”. Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki się dodają: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$. Logarytm to wykładnik, więc logarytm iloczynu musi być sumą logarytmów.

Sprawdź na liczbach: $\log_2 8 = 3$, $\log_2 16 = 4$, a $\log_2 (8 \cdot 16) = \log_2 128 = 7$. Rzeczywiście $3 + 4 = 7$ (Rys. 5). Tak samo przy dzieleniu potęg wykładniki się odejmują, więc logarytm ilorazu jest różnicą logarytmów: $\log_2 \frac{16}{8} = \log_2 2 = 1 = 4 - 3$.

Skąd ten wzór

Oznacz $\log_a x = m$ i $\log_a y = n$. Z definicji $x = a^m$ i $y = a^n$. Mnożysz te liczby:

$$x \cdot y = a^m \cdot a^n = a^{m + n}$$

Zatem $\log_a (xy) = m + n = \log_a x + \log_a y$. Dzielenie daje w ten sam sposób $\frac{x}{y} = a^{m - n}$. Stąd $\log_a \frac{x}{y} = m - n = \log_a x - \log_a y$. Całe wyprowadzenie zajmuje dwie linijki — jeśli kiedyś zapomnisz wzoru, odtworzysz go w pół minuty z praw działań na potęgach.

Warunki mają praktyczne znaczenie. $\log_2 \left((-2) \cdot (-4)\right) = \log_2 8 = 3$ istnieje, ale nie wolno go rozbić na $\log_2 (-2) + \log_2 (-4)$, bo te logarytmy nie istnieją. Wzór stosujesz tylko wtedy, gdy każdy czynnik jest dodatni.

Na maturze wzory stosujesz zwykle „od prawej do lewej”. Dwa logarytmy o tej samej podstawie łączysz w jeden i liczysz go z definicji. Dodawanie zamieniasz na mnożenie liczb, odejmowanie — na dzielenie. Wynik jest ładną liczbą właśnie dlatego, że po połączeniu wychodzi potęga podstawy.

Czasem przydaje się kierunek odwrotny — rozbijanie. Logarytm $\log_2 24$ nie jest całkowity, ale $24 = 8 \cdot 3$, więc $\log_2 24 = \log_2 8 + \log_2 3 = 3 + \log_2 3$. Z liczby wyciągasz wtedy „ładną” część, a zostaje prostszy logarytm. Tak samo pracuje się w zadaniach, w których podano wartość jakiegoś logarytmu (o tym osobny rozdział).

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Oblicz $\log_{12} 3 + \log_{12} 48$.

Podstawy są równe, więc łączysz sumę w logarytm iloczynu:

$$\log_{12} (3 \cdot 48) = \log_{12} 144$$

Ponieważ $12^2 = 144$:

$$\log_{12} 144 = 2$$

Osobno żadnego z tych logarytmów nie da się łatwo policzyć — dopiero połączenie daje potęgę podstawy.

Przykład 2. Oblicz $\log_5 250 - \log_5 2$.

Różnicę łączysz w logarytm ilorazu:

$$\log_5 \frac{250}{2} = \log_5 125 = 3$$

Przykład 3. Oblicz $\log_2 12 + \log_2 6 - \log_2 9$.

Działasz od lewej. Suma daje iloczyn, różnica — iloraz:

$$\log_2 \frac{12 \cdot 6}{9} = \log_2 \frac{72}{9} = \log_2 8 = 3$$

Przykład 4. Oblicz $\log_3 \left(\sqrt{10} - 1\right) + \log_3 \left(\sqrt{10} + 1\right)$.

Łączysz w logarytm iloczynu. W środku jest iloczyn sumy i różnicy tych samych liczb, więc wzór skróconego mnożenia usuwa pierwiastek:

$$\left(\sqrt{10} - 1\right)\left(\sqrt{10} + 1\right) = 10 - 1 = 9$$ $$\log_3 9 = 2$$

Sprawdzenie sensu: $\sqrt{10} - 1 \approx 2{,}16 > 0$, więc oba logarytmy istnieją. Ich suma to $\log_3$ z liczby około $2{,}16 \cdot 4{,}16 \approx 9$. Zgadza się.

Typowy błąd

Największy błąd to „rozbijanie” logarytmu sumy: $\log_2 (4 + 4) = \log_2 4 + \log_2 4$. Lewa strona to $\log_2 8 = 3$, prawa to $2 + 2 = 4$. Wzór dotyczy iloczynu, nie sumy. Drugi błąd to dzielenie logarytmów zamiast ich odejmowania: $\frac{\log_2 16}{\log_2 4} = \frac{4}{2} = 2$, a $\log_2 \frac{16}{4} = \log_2 4 = 2$ — tu przypadkiem wyszło tak samo, ale już $\frac{\log_2 8}{\log_2 2} = 3$, a $\log_2 \frac{8}{2} = 2$.

Sprawdź się

1. Oblicz $\log_6 4 + \log_6 54$.
2. Oblicz $\log_2 56 - \log_2 7$.
3. Oblicz $\log_{10} 25 + \log_{10} 8 - \log_{10} 2$.

Odpowiedzi: 1) $\log_6 216 = 3$. 2) $\log_2 8 = 3$. 3) $\log_{10} \frac{25 \cdot 8}{2} = \log_{10} 100 = 2$. Dla $x = 4$, $y = 32$ z ramki: $\log_2 128 = 7 = 2 + 5$ oraz $\log_2 \frac{32}{4} = 3 = 5 - 2$.

Logarytm potęgi

Z potęg znasz jeszcze jedno prawo: potęga potęgi to mnożenie wykładników. $(2^3)^4 = 2^{12}$. Przełożone na logarytmy daje trzeci wzór: logarytm potęgi to wykładnik razy logarytm podstawy tej potęgi.

Sprawdź na liczbach: $\log_2 8^2 = \log_2 64 = 6$, a $2 \cdot \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$. Wzór można też zobaczyć jako powtórzony logarytm iloczynu: $\log_2 8^2 = \log_2 (8 \cdot 8) = \log_2 8 + \log_2 8$.

Wzór działa także dla wykładników ułamkowych, czyli dla pierwiastków. $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, więc $\log_a \sqrt{x} = \frac{1}{2}\log_a x$. Dla wykładnika $-1$ dostajesz logarytm odwrotności: $\log_a \frac{1}{x} = -\log_a x$. Ogólniej pierwiastek stopnia $n$ to potęga o wykładniku $\frac{1}{n}$, więc jego logarytm to $\frac{1}{n}$ logarytmu liczby pod pierwiastkiem. Na przykład $\log_2 \sqrt[3]{4} = \frac{1}{3} \log_2 4 = \frac{2}{3}$. Wszystkie te przypadki to jeden wzór, a nie osobne reguły do nauczenia.

W zadaniach wzór działa w dwie strony. Z lewej do prawej „zdejmujesz” wykładnik przed logarytm. Z prawej do lewej „wkładasz” liczbę stojącą przed logarytmem do wykładnika — to bardzo częsty pierwszy krok, bo dopiero wtedy możesz połączyć logarytmy wzorem na iloczyn lub iloraz.

W praktyce przy wyrażeniu z kilkoma logarytmami działasz według stałego porządku. Najpierw liczby stojące przed logarytmami „wkładasz” do wykładników. Potem łączysz sumy i różnice w jeden logarytm — dodawanie w mnożenie, odejmowanie w dzielenie. Na końcu liczysz ten jeden logarytm z definicji. Zanim zaczniesz, sprawdź, czy wszystkie logarytmy mają tę samą podstawę — jeśli nie, wzorów nie wolno stosować.

Wzór na logarytm odwrotności pomaga też szybko ocenić znak logarytmu. Przy podstawie większej od $1$ liczby większe od $1$ mają logarytm dodatni, a liczby z przedziału $(0, 1)$ — ujemny. Wynika to z tego, że liczba $y$ z przedziału $(0, 1)$ jest odwrotnością liczby $\frac{1}{y}$ większej od $1$, więc $\log_a y = -\log_a \frac{1}{y}$ jest liczbą przeciwną do dodatniej. Na przykład $\log_2 5 > 0$, więc $\log_2 \frac{1}{5} = -\log_2 5 < 0$.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Oblicz $\log_5 25^3$.

Zdejmujesz wykładnik przed logarytm:

$$\log_5 25^3 = 3 \cdot \log_5 25 = 3 \cdot 2 = 6$$

Sprawdzenie inną drogą: $25^3 = (5^2)^3 = 5^6$, więc wynik to $6$.

Przykład 2. Oblicz $2\log_6 3 + \log_6 4$.

Liczba $2$ przed logarytmem nie pozwala od razu połączyć składników. Wkładasz ją do wykładnika:

$$2\log_6 3 = \log_6 3^2 = \log_6 9$$

Teraz suma logarytmów o tej samej podstawie:

$$\log_6 9 + \log_6 4 = \log_6 36 = 2$$

Przykład 3. Oblicz $3\log_4 2 - 2\log_4 8$.

Tu wygodniej policzyć każdy logarytm z definicji. $4 = 2^2$, więc $\log_4 2 = \frac{1}{2}$ (bo $4^{\frac{1}{2}} = 2$) i $\log_4 8 = \frac{3}{2}$ (bo $4^{\frac{3}{2}} = 8$).

$$3 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - 3 = -\frac{3}{2}$$

Sprawdzenie drugą drogą: $\log_4 \frac{2^3}{8^2} = \log_4 \frac{8}{64} = \log_4 \frac{1}{8}$. Skoro $4^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{8}$, wynik to $-\frac{3}{2}$. Zgadza się.

Przykład 4. Oblicz $\log_7 \sqrt[3]{49}$.

Pierwiastek zamieniasz na potęgę: $\sqrt[3]{49} = 49^{\frac{1}{3}}$.

$$\log_7 49^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \log_7 49 = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$$

Typowy błąd

Uczniowie mylą $\log_a x^2$ z $(\log_a x)^2$. Weź $x = 8$ i podstawę $2$: $\log_2 8^2 = 2 \cdot 3 = 6$, a $(\log_2 8)^2 = 3^2 = 9$. Wykładnik zdejmujesz przed logarytm tylko wtedy, gdy dotyczy liczby logarytmowanej, a nie całego logarytmu. Drugi błąd: $2\log_6 3 = \log_6 6$ (pomnożenie liczby logarytmowanej przez $2$ zamiast podniesienia do kwadratu). Poprawnie $2\log_6 3 = \log_6 9$.

Sprawdź się

1. Oblicz $\log_3 9^4$.
2. Oblicz $2\log_{10} 5 + \log_{10} 4$.
3. Oblicz $\log_2 \sqrt[5]{8}$.

Odpowiedzi: 1) $4 \cdot 2 = 8$. 2) $\log_{10} 25 + \log_{10} 4 = \log_{10} 100 = 2$. 3) $\frac{1}{5} \cdot 3 = \frac{3}{5}$.

Wyrażanie logarytmów przez dane

W części zadań nie da się obliczyć logarytmu dokładnie — na przykład $\log_3 5$ nie jest ani całkowity, ani „ładny”. Zadanie podaje wtedy jego wartość jako literę, np. $\log_3 5 = p$, i każe wyrazić inny logarytm za pomocą $p$. Nie liczysz więc przybliżeń, tylko przekształcasz wyrażenie wzorami. Wynik jest wyrażeniem z literą, np. $2 + p$ albo $3p - 1$, i to ono jest odpowiedzią. W zadaniach zamkniętych warianty różnią się zwykle znakiem albo tym, czy liczba stoi przed literą, czy w wykładniku — dlatego każdy krok zapisuj starannie.

Strategia jest zawsze ta sama. Liczbę logarytmowaną rozkładasz na czynniki: potęgi podstawy (ich logarytmy znasz) oraz potęgi liczby, której logarytm jest dany. Potem stosujesz wzór na iloczyn, iloraz i potęgę. Każdy „znany” logarytm zamieniasz na liczbę, a każdy dany — na literę.

Pomocny jest rozkład na czynniki pierwsze. Na przykład $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$. Przy podstawie $3$ część $3^2$ daje liczbę $2$, a część $5$ daje literę $p$.

Liczby dziesiętne i ułamki też da się rozłożyć. $0{,}6 = \frac{6}{10}$, a $\frac{1}{15} = 15^{-1}$. Mianownik zamienia się na odejmowanie, wykładnik ujemny — na minus przed logarytmem. Gdy nie masz pewności, czy wynik jest dobry, podstaw przybliżoną wartość litery i sprawdź kalkulatorem: obie strony powinny dać prawie tę samą liczbę.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Wiadomo, że $\log_3 5 = p$. Wyraź $\log_3 45$ za pomocą $p$.

Rozkładasz $45 = 3^2 \cdot 5$ i stosujesz logarytm iloczynu (Rys. 6):

$$\log_3 45 = \log_3 3^2 + \log_3 5 = 2 + p$$

Przykład 2. Wiadomo, że $\log_3 5 = p$. Wyraź $\log_3 \frac{25}{3}$ za pomocą $p$.

Licznik to $5^2$, mianownik to $3^1$. Logarytm ilorazu, potem logarytm potęgi:

$$\log_3 \frac{25}{3} = \log_3 5^2 - \log_3 3 = 2p - 1$$

Przykład 3. Wiadomo, że $\log 2 = a$ (logarytm dziesiętny). Wyraź $\log 5$ i $\log 40$ za pomocą $a$.

Piątkę zapisujesz jako iloraz $\frac{10}{2}$, bo $\log 10 = 1$ znasz:

$$\log 5 = \log \frac{10}{2} = 1 - a$$

Liczbę $40$ rozkładasz na $10 \cdot 2^2$:

$$\log 40 = \log 10 + \log 2^2 = 1 + 2a$$

Sprawdzenie przybliżone: $2^{10} = 1024 \approx 10^3$, więc $\log 2 \approx \frac{3}{10} = 0{,}3$ (dokładniej $0{,}301$). Wtedy $1 + 2a \approx 1{,}6$, a $10^{1{,}6} \approx 40$. Zgadza się.

Przykład 4. Wiadomo, że $\log_3 5 = p$. Wyraź $\log_3 \left(5\sqrt{3}\right)$ za pomocą $p$.

Pierwiastek zapisujesz jako potęgę: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$. Potem logarytm iloczynu:

$$\log_3 \left(5 \cdot 3^{\frac{1}{2}}\right) = \log_3 5 + \log_3 3^{\frac{1}{2}} = p + \frac{1}{2}$$

Typowy błąd

Przy $\log_3 45$ uczniowie piszą $\log_3 45 = \log_3 9 \cdot \log_3 5 = 2p$. Logarytm iloczynu to suma, nie iloczyn logarytmów: $2 + p$. Drugi błąd to zamiana $\log_3 5^2$ na $p^2$ zamiast $2p$. Sprawdź na liczbach: jeśli $p \approx 1{,}46$, to $2p \approx 2{,}93$, a $3^{2{,}93} \approx 25$ — natomiast $p^2 \approx 2{,}15$ daje $3^{2{,}15} \approx 10{,}6$ — daleko od $25$.

Sprawdź się

1. Wiadomo, że $\log_2 5 = t$. Wyraź $\log_2 20$ za pomocą $t$.
2. Wiadomo, że $\log_3 5 = p$. Wyraź $\log_3 \frac{1}{15}$ za pomocą $p$.
3. Wiadomo, że $\log 2 = a$. Wyraź $\log 0{,}8$ za pomocą $a$.

Odpowiedzi: 1) $20 = 2^2 \cdot 5$, więc $2 + t$. 2) $\frac{1}{15} = (3 \cdot 5)^{-1}$, więc $-(1 + p) = -1 - p$. 3) $0{,}8 = \frac{2^3}{10}$, więc $3a - 1$.

Logarytm dziesiętny

Logarytm przy podstawie $10$ jest tak częsty, że ma skrócony zapis: piszesz $\log x$ zamiast $\log_{10} x$. Nazywa się go logarytmem dziesiętnym. Jest wygodny, bo nasz system liczbowy opiera się na dziesiątce. Logarytm dziesiętny potęgi dziesiątki to po prostu liczba zer (albo miejsc po przecinku ze znakiem minus).

$$\log 1000 = 3, \qquad \log 0{,}001 = -3$$

Zależność działa też w drugą stronę. Jeśli $\log x = 5$, to z definicji $x = 10^5 = 100\,000$. To bardzo częste zadanie maturalne: wielkość podano przez jej logarytm (w tabeli, na wykresie, we wzorze), a ty masz odczytać samą wielkość.

Ile cyfr ma liczba

Jeśli $\log x$ leży między $k$ a $k + 1$, to $x$ leży między $10^k$ a $10^{k+1}$. Liczba $\log x$ mówi więc, ile cyfr ma $x$ przed przecinkiem. Na przykład $\log 2024 \approx 3{,}31$ — liczba ma cztery cyfry, bo leży między $10^3$ a $10^4$. Logarytm „zamienia” ogromne liczby na małe (Rys. 7), zachowując informację o rzędzie wielkości.

Dlatego logarytm dziesiętny opisuje zjawiska o ogromnym zakresie: głośność dźwięku, siłę trzęsienia ziemi, jasność gwiazd. Wzrost logarytmu o $1$ oznacza, że sama wielkość rośnie dziesięć razy. Wzrost o $2$ — sto razy. Na maturze podstawowej kalkulator nie ma klawisza logarytmu, dlatego zadania są dobrane tak, że liczby są potęgami dziesiątki albo wystarczy oszacowanie.

Wykres z logarytmem na osi

Na maturze zdarza się wykres, na którym na osi pionowej zamiast samej wielkości $N$ zaznaczono $\log N$. Taki wykres czytasz dwuetapowo. Najpierw odczytujesz wysokość punktu, czyli wartość $\log N$. Potem zamieniasz ją na $N$ z definicji: wysokość $2$ oznacza $N = 10^2 = 100$, wysokość $6$ — milion. Równe odstępy na osi pionowej nie oznaczają równych przyrostów $N$, tylko mnożenie przez ten sam czynnik: każda kolejna jednostka w górę to dziesięć razy więcej (Rys. 8).

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Oblicz $\log 1\,000\,000 + \log 0{,}001$.

Każdą liczbę zapisujesz jako potęgę dziesiątki: $10^6$ i $10^{-3}$.

$$\log 10^6 + \log 10^{-3} = 6 + (-3) = 3$$

Można też połączyć wzorem na iloczyn: $\log (1\,000\,000 \cdot 0{,}001) = \log 1000 = 3$.

Przykład 2. Liczebność populacji $N$ opisano liczbą $\log N = 5$. Ile wynosi $N$?

Przepisujesz logarytm na potęgę:

$$N = 10^5 = 100\,000$$

Przykład 3. Ile razy większa jest liczba $x$ od $y$, jeśli $\log x = 4{,}5$ i $\log y = 2{,}5$?

Iloraz zamieniasz na różnicę logarytmów:

$$\log \frac{x}{y} = \log x - \log y = 4{,}5 - 2{,}5 = 2$$

Stąd $\frac{x}{y} = 10^2 = 100$. Liczba $x$ jest sto razy większa od $y$, choć ich logarytmy różnią się tylko o $2$.

Przykład 4. Ile cyfr przed przecinkiem ma liczba $x$, jeśli $\log x = 7{,}4$?

Logarytm leży między $7$ a $8$, więc liczba leży między potęgami dziesiątki:

$$10^7 < x < 10^8$$

Najmniejsza liczba o ośmiu cyfrach to $10^7 = 10\,000\,000$, a $10^8$ ma już dziewięć cyfr. Zatem $x$ ma $8$ cyfr przed przecinkiem. Ogólnie: liczba cyfr to część całkowita logarytmu powiększona o $1$.

Typowy błąd

Uczniowie odczytują $\log x = 5$ jako $x = 5 \cdot 10 = 50$ albo $x = 5^{10}$. Poprawnie $x = 10^5$ — podstawą jest zawsze $10$, a logarytm jest wykładnikiem. Drugi błąd: wzrost logarytmu z $2$ do $4$ traktowany jako „dwa razy więcej”. W rzeczywistości wielkość rośnie $10^{4 - 2} = 100$ razy.

Sprawdź się

1. Oblicz $\log 0{,}000\,1$.
2. Wiadomo, że $\log x = -6$. Oblicz $x$.
3. Oblicz $\log 50 + \log 20$.

Odpowiedzi: 1) $0{,}000\,1 = 10^{-4}$, więc $-4$. 2) $x = 10^{-6} = 0{,}000\,001$. 3) $\log (50 \cdot 20) = \log 1000 = 3$.

Szacowanie i porównywanie logarytmów

Większość logarytmów nie jest liczbami całkowitymi. $\log_2 10$ to wykładnik, dla którego $2^x = 10$. Nie ma takiej liczby naturalnej, bo $2^3 = 8$, a $2^4 = 16$. Ale właśnie z tych potęg widać, że wykładnik leży między $3$ a $4$. To jest szacowanie logarytmu — szukasz dwóch kolejnych potęg podstawy, między którymi leży liczba logarytmowana.

Szacowanie działa dzięki monotoniczności: dla podstawy większej od $1$ większa liczba ma większy logarytm (większą liczbę osiąga się większym wykładnikiem). Dla podstawy z przedziału $(0, 1)$ jest odwrotnie — tak jak przy porównywaniu potęg. Wynika to wprost z definicji: $\left(\frac{1}{2}\right)^c = 2^{-c}$, więc $\log_{\frac{1}{2}} x$ to liczba przeciwna do $\log_2 x$. Gdy $\log_2 x$ rośnie, $\log_{\frac{1}{2}} x$ maleje.

Porównywanie logarytmów o różnych podstawach często da się rozstrzygnąć szacowaniem. Jeśli jeden logarytm leży powyżej jakiejś liczby całkowitej, a drugi poniżej niej, to wiadomo, który jest większy — bez kalkulatora.

Oszacowanie można zawęzić, sprawdzając wykładnik w połowie przedziału. Wiadomo, że $3 < \log_2 10 < 4$. Weź $3{,}5$: $2^{3{,}5} = 2^3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{2}$. Skoro $\sqrt{2}$ jest nieco większe od $1{,}4$ (bo $1{,}4^2 = 1{,}96$), to $8\sqrt{2} > 11{,}2 > 10$. Zatem $\log_2 10 < 3{,}5$ (Rys. 9). Tak krok po kroku zawężasz przedział — to ta sama metoda co szacowanie pierwiastków przez kwadraty.

W zadaniach zamkniętych szacowanie często wystarcza do wyboru odpowiedzi. Jeśli pytanie brzmi „która liczba należy do przedziału…”, sprawdzasz każdy wariant osobno: wypisujesz potęgi podstawy wokół liczby logarytmowanej i odczytujesz, między którymi wykładnikami leży logarytm. Nie trzeba przy tym niczego liczyć dokładnie ani używać kalkulatora.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Między którymi kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\log_2 10$?

Wypisujesz potęgi dwójki wokół $10$: $2^3 = 8$ i $2^4 = 16$. Skoro $8 < 10 < 16$ i podstawa $2 > 1$:

$$3 < \log_2 10 < 4$$

Liczba $10$ jest bliżej $8$ niż $16$, więc logarytm będzie bliżej $3$ (naprawdę $\log_2 10 \approx 3{,}32$).

Przykład 2. Między którymi kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\log_5 100$?

Potęgi piątki: $5^2 = 25$, $5^3 = 125$. Skoro $25 < 100 < 125$:

$$2 < \log_5 100 < 3$$

Przykład 3. Która liczba jest większa: $\log_2 9$ czy $\log_3 26$?

Szacujesz każdą osobno. $2^3 = 8 < 9$, więc $\log_2 9 > 3$. Z kolei $26 < 27 = 3^3$, więc $\log_3 26 < 3$. Liczba $3$ rozdziela je (Rys. 10), zatem:

$$\log_2 9 > \log_3 26$$

Przykład 4. Porównaj $\log_{\frac{1}{2}} 3$ i $\log_{\frac{1}{2}} 5$.

Podstawa $\frac{1}{2}$ jest mniejsza od $1$, więc większa liczba ma mniejszy logarytm. Skoro $3 < 5$:

$$\log_{\frac{1}{2}} 3 > \log_{\frac{1}{2}} 5$$

Sprawdzenie sensu: oba logarytmy są ujemne (bo $\left(\frac{1}{2}\right)^x > 1$ tylko dla $x < 0$), a $\log_{\frac{1}{2}} 5 \approx -2{,}32$ jest bardziej ujemny niż $\log_{\frac{1}{2}} 3 \approx -1{,}58$.

Typowy błąd

Uczniowie szacują logarytm, dzieląc liczby: $\log_2 10 \approx \frac{10}{2} = 5$. Sprawdź potęgą: $2^5 = 32$, daleko od $10$. Szacowanie zawsze robisz na potęgach podstawy. Drugi błąd: przy podstawie mniejszej od $1$ nierówność nie zostaje odwrócona. Zanim porównasz, spójrz na podstawę.

Sprawdź się

1. Między którymi kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\log_3 50$?
2. Między którymi kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\log 3500$?
3. Która liczba jest większa: $\log_4 70$ czy $\log_5 120$?

Odpowiedzi: 1) $27 < 50 < 81$, więc między $3$ a $4$. 2) $1000 < 3500 < 10\,000$, więc między $3$ a $4$. 3) $70 > 64 = 4^3$, więc $\log_4 70 > 3$; $120 < 125 = 5^3$, więc $\log_5 120 < 3$ — większy jest $\log_4 70$.

Najczęstsze błędy na maturze

• Logarytm to nie dzielenie. $\log_2 8 = 3$, a nie $4$; zawsze pytaj, do jakiej potęgi podnieść podstawę.
• Ujemny wynik jest dozwolony. Ujemna nie może być liczba logarytmowana ani podstawa, ale sam logarytm tak: $\log_2 \frac{1}{8} = -3$.
• Logarytm sumy. $\log_a (x + y) \neq \log_a x + \log_a y$; wzór dotyczy iloczynu.
• Iloraz logarytmów. $\frac{\log_a x}{\log_a y} \neq \log_a \frac{x}{y}$; logarytm ilorazu to różnica.
• Liczba przed logarytmem. $2\log_6 3 = \log_6 9$, a nie $\log_6 6$.
• Kwadrat logarytmu. $(\log_a x)^2 \neq 2\log_a x$.
• Różne podstawy. Wzorów na iloczyn i iloraz nie stosujesz, gdy podstawy logarytmów są różne.
• Odczyt logarytmu dziesiętnego. $\log x = 5$ oznacza $x = 10^5$, a wzrost logarytmu o $1$ to wzrost wielkości dziesięć razy.
• Szacowanie. Szacujesz na potęgach podstawy, a przy podstawie z przedziału $(0, 1)$ kierunek nierówności się odwraca.