Procenty i procent składany

Procent i trzy typowe obliczenia

Słowo „procent” pochodzi z łaciny: per centum — „na sto”. Zapis $15\%$ znaczy „$15$ na każde $100$”, czyli $\frac{15}{100} = 0{,}15$. Procent to więc zwykły ułamek o mianowniku $100$, zapisany w wygodnej postaci. Dzięki temu łatwo porównać części różnych całości: $30$ osób na $200$ i $45$ na $300$ to w obu przypadkach $15\%$.

Każde zadanie z procentami ma trzy wielkości: całość (liczbę, od której liczysz procent), procent i część (ile ten procent wynosi). Zależność między nimi jest jedna:

$$\text{część} = \frac{p}{100} \cdot \text{całość}$$

Z tej jednej równości wynikają wszystkie trzy typowe obliczenia. Gdy znasz dwie wielkości, trzecią wyznaczasz jak niewiadomą z równania. Nie potrzebujesz trzech osobnych wzorów — wystarczy jeden i umiejętność przekształcenia go.

Trzy pytania, jedno równanie

Ile to jest $p\%$ liczby? Mnożysz liczbę przez $\frac{p}{100}$. Na przykład $15\%$ z $240$ to $0{,}15 \cdot 240$.

Jakim procentem jednej liczby jest druga? Dzielisz część przez całość i mnożysz przez $100\%$. Najważniejsze pytanie brzmi: co jest całością? To liczba, która w zdaniu stoi po słowach „procent liczby…”.

Jaka jest liczba, jeśli znasz jej procent? Oznaczasz liczbę literą $x$, zapisujesz równanie i dzielisz. Jeśli $12\%$ liczby to $54$, to $0{,}12x = 54$.

Te trzy pytania łatwo zobaczyć na trójkącie: część na górze, procent i całość na dole. Zasłaniasz szukaną wielkość i widzisz, czy mnożyć, czy dzielić (Rys. 1).

Procent i ułamek to dwa zapisy tej samej liczby, więc zamieniasz je mnożeniem lub dzieleniem przez $100$. Ułamek zamieniasz na procent, mnożąc go przez $100\%$: $\frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\%$. Procent zamieniasz na ułamek, dzieląc przez $100$: $4{,}5\% = 0{,}045$. Procent może być większy od $100$ — $250\%$ liczby to dwa i pół razy ta liczba — i może być ułamkiem, np. $0{,}5\%$ to połowa jednego procenta, czyli $0{,}005$.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Oblicz $15\%$ liczby $240$.

Zamieniasz procent na ułamek dziesiętny i mnożysz:

$$0{,}15 \cdot 240 = 36$$

Sprawdzenie sensu: $10\%$ z $240$ to $24$, a $5\%$ to połowa tego, czyli $12$ (Rys. 2). Razem $36$.

Przykład 2. Jakim procentem liczby $180$ jest liczba $45$?

Całością jest $180$ (po słowach „procentem liczby”). Dzielisz część przez całość:

$$\frac{45}{180} \cdot 100\% = 0{,}25 \cdot 100\% = 25\%$$

Przykład 3. $12\%$ pewnej liczby jest równe $54$. Wyznacz tę liczbę.

Zapisujesz równanie i dzielisz przez współczynnik:

$$0{,}12x = 54$$ $$x = \frac{54}{0{,}12} = 450$$

Sprawdzenie: $0{,}12 \cdot 450 = 54$. Wynik jest większy od $54$, bo $54$ to tylko mała część całości.

Przykład 4. W szkole $40\%$ uczniów uczy się w klasach trzecich, a $30\%$ z nich wybrało matematykę rozszerzoną. Jaki procent wszystkich uczniów szkoły stanowią trzecioklasiści z matematyką rozszerzoną?

Procent z procentu to iloczyn ułamków. Liczysz $30\%$ z $40\%$ całości:

$$0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12 = 12\%$$

Sprawdzenie na liczbach: jeśli w szkole jest $1000$ uczniów, trzecioklasistów jest $400$, a z nich $120$ ma rozszerzenie. To $12\%$ z $1000$ (Rys. 3).

Typowy błąd

Najczęstszy błąd to pomylenie całości. „Jakim procentem liczby $180$ jest $45$?” — uczniowie dzielą $\frac{180}{45} = 4$ i piszą $400\%$. Część jest mniejsza od całości, więc wynik musi być mniejszy od $100\%$. Drugi błąd przy szukaniu liczby: $12\%$ z $54$ zamiast liczby, której $12\%$ to $54$. Wychodzi $6{,}48$, a przecież szukana liczba musi być większa od swojej części.

Sprawdź się

1. Oblicz $8\%$ liczby $350$.
2. Jakim procentem liczby $90$ jest liczba $63$?
3. $24\%$ pewnej liczby to $42$. Wyznacz tę liczbę.

Odpowiedzi: 1) $0{,}08 \cdot 350 = 28$. 2) $\frac{63}{90} = 0{,}7 = 70\%$. 3) $x = \frac{42}{0{,}24} = 175$.

Podwyżki i obniżki — mnożnik

Cena $200$ zł wzrosła o $15\%$. Można liczyć w dwóch krokach: podwyżka to $0{,}15 \cdot 200 = 30$ zł, nowa cena to $230$ zł. Można jednak zrobić to jednym mnożeniem. Nowa cena to stara cena ($100\%$) plus podwyżka ($15\%$), czyli $115\%$ starej ceny:

$$1{,}15 \cdot 200 = 230$$

Liczbę $1{,}15$ nazywamy mnożnikiem (Rys. 4). Przy obniżce o $15\%$ zostaje $85\%$ ceny, więc mnożnik to $0{,}85$. Mnożnik większy od $1$ oznacza wzrost, mniejszy od $1$ — spadek. Mnożnik $2$ to wzrost o $100\%$ (podwojenie), a mnożnik $3$ — wzrost o $200\%$. Zdania „wzrosło trzykrotnie” i „wzrosło o $300\%$” nie znaczą więc tego samego: pierwsze to mnożnik $3$, drugie — mnożnik $4$.

Mnożnik ma ogromną zaletę: kolejne zmiany procentowe to kolejne mnożenia. Druga zmiana liczy się już od nowej wartości, a nie od początkowej — dlatego procentów się nie dodaje. Podwyżka o $25\%$, a potem obniżka o $20\%$ to:

$$1{,}25 \cdot 0{,}8 = 1$$

Cena wraca dokładnie do początkowej, choć procenty wyglądają na różne. Obniżka o $20\%$ liczy się od większej kwoty niż podwyżka o $25\%$, więc „zabiera” tyle samo złotych (Rys. 5).

Cofanie zmiany

Jeśli znasz cenę po zmianie, cenę przed zmianą wyznaczasz, dzieląc przez mnożnik. Mnożenie przez $1{,}08$ cofa się dzieleniem przez $1{,}08$, a nie odejmowaniem $8\%$ od nowej ceny. Odejmowanie liczyłoby procent od złej całości — od ceny po podwyżce zamiast przed nią.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Bilet kosztował $250$ zł i zdrożał o $12\%$. Ile kosztuje teraz?

Mnożnik podwyżki o $12\%$ to $1{,}12$.

$$1{,}12 \cdot 250 = 280$$

Bilet kosztuje $280$ zł.

Przykład 2. Cenę podniesiono o $10\%$, a potem obniżono o $5\%$, a na końcu jeszcze raz obniżono o $5\%$. Jak zmieniła się cena?

Mnożysz trzy mnożniki:

$$1{,}1 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}95 = 0{,}99275$$

Mnożnik jest mniejszy od $1$, więc cena spadła. Spadek to $1 - 0{,}99275 = 0{,}00725$, czyli o $0{,}725\%$. Gdyby dodać procenty, wyszłoby $10 - 5 - 5 = 0$ — i to byłaby błędna odpowiedź.

Przykład 3. Po podwyżce o $8\%$ płaszcz kosztuje $324$ zł. Ile kosztował przed podwyżką?

Oznaczasz starą cenę przez $x$. Wiesz, że $1{,}08x = 324$. Dzielisz przez mnożnik:

$$x = \frac{324}{1{,}08} = 300$$

Sprawdzenie: $300 \cdot 1{,}08 = 324$. Gdyby odjąć $8\%$ od $324$, wyszłoby $298{,}08$ zł — źle, bo $8\%$ liczy się od $300$, nie od $324$ (Rys. 6).

Typowy błąd

Uczniowie uważają, że podwyżka o $50\%$ i obniżka o $50\%$ „się znoszą”. Tymczasem $1{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}75$ — cena spada o $25\%$. Z $100$ zł robi się $150$ zł, a połowa ze $150$ zł to $75$ zł. Kolejność zmian nie ma znaczenia ($0{,}5 \cdot 1{,}5$ też daje $0{,}75$), ale ich sumowanie — zawsze jest błędem.

Sprawdź się

1. Cena $80$ zł wzrosła o $15\%$. Oblicz nową cenę.
2. Cenę obniżono o $30\%$, a potem podniesiono o $30\%$. O ile procent zmieniła się cena w porównaniu z początkową?
3. Po obniżce o $40\%$ książka kosztuje $54$ zł. Ile kosztowała przed obniżką?

Odpowiedzi: 1) $1{,}15 \cdot 80 = 92$ zł. 2) $0{,}7 \cdot 1{,}3 = 0{,}91$ — spadek o $9\%$. 3) $\frac{54}{0{,}6} = 90$ zł.

O ile procent więcej, o ile mniej

Pytanie „o ile procent więcej?” zawsze ma ukrytą podstawę porównania — liczbę, od której liczysz procent. W zdaniu „$X$ jest o $p\%$ większe od $Y$” podstawą jest $Y$, czyli to, z czym porównujesz (stoi po słowach „większe od”). Różnicę dzielisz przez podstawę.

Stąd wynika coś, co wielu zaskakuje. Jeśli $80$ porównasz z $50$, różnica to $30$, a $30$ to $60\%$ z $50$. Ale jeśli $50$ porównasz z $80$, ta sama różnica $30$ to tylko $37{,}5\%$ z $80$. Liczba $80$ jest o $60\%$ większa od $50$, a $50$ jest o $37{,}5\%$ mniejsza od $80$. Oba zdania są prawdziwe, bo mają różne podstawy (Rys. 7).

Porównanie przez iloraz

Szybciej jest policzyć iloraz $\frac{x}{y}$ i odczytać go jak mnożnik. Iloraz $1{,}6$ znaczy „o $60\%$ więcej”, iloraz $0{,}625$ znaczy „o $37{,}5\%$ mniej”. To ten sam mnożnik co w poprzednim rozdziale, tylko odczytany wstecz.

Ta metoda działa też wtedy, gdy obie wielkości podano w procentach trzeciej wielkości. Jeśli $x$ to $130\%$ pewnej liczby $s$, a $y$ to $80\%$ tej samej liczby, to $\frac{x}{y} = \frac{1{,}3s}{0{,}8s}$. Liczba $s$ się skraca i zostaje iloraz samych mnożników.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. O ile procent liczba $80$ jest większa od $50$? O ile procent $50$ jest mniejsze od $80$?

W pierwszym pytaniu podstawą jest $50$:

$$\frac{80 - 50}{50} = \frac{30}{50} = 0{,}6 = 60\%$$

W drugim podstawą jest $80$:

$$\frac{80 - 50}{80} = \frac{30}{80} = 0{,}375 = 37{,}5\%$$

Przykład 2. Liczba $a$ stanowi $60\%$ liczby $b$ ($b > 0$). O ile procent $b$ jest większe od $a$?

Zapisujesz $a = 0{,}6b$ i liczysz iloraz, w którym podstawą jest $a$:

$$\frac{b}{a} = \frac{b}{0{,}6b} = \frac{1}{0{,}6} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667$$

Liczba $b$ jest większa od $a$ o około $66{,}7\%$, a dokładnie o $66\frac{2}{3}\%$. Nie o $40\%$ — to byłaby różnica liczona od $b$, a nie od $a$.

Przykład 3. Pani Ola zarabia o $20\%$ więcej niż wynosi średnia pensja w jej firmie, a pan Jan — o $20\%$ mniej. O ile procent pensja pani Oli jest wyższa od pensji pana Jana?

Oznaczasz średnią przez $s$. Pani Ola ma $1{,}2s$, pan Jan $0{,}8s$. Podstawą jest pensja pana Jana:

$$\frac{1{,}2s}{0{,}8s} = 1{,}5$$

Mnożnik $1{,}5$ oznacza, że pensja pani Oli jest wyższa o $50\%$ — nie o $40\%$, jak sugerowałoby odjęcie procentów.

Typowy błąd

Uczniowie liczą różnicę procentów: „$20\%$ więcej i $20\%$ mniej, więc różnica to $40\%$”. Procenty w zdaniu odnoszą się do średniej, a pytanie dotyczy porównania z pensją pana Jana — trzeba zmienić podstawę. Drugi błąd: przekonanie, że „o $60\%$ więcej” w jedną stronę oznacza „o $60\%$ mniej” w drugą. Sprawdzenie: $50 \cdot 1{,}6 = 80$, ale $80 \cdot 0{,}4 = 32 \neq 50$.

Sprawdź się

1. O ile procent liczba $130$ jest większa od $100$, a o ile procent $100$ jest mniejsze od $130$ (w zaokrągleniu do $0{,}1\%$)?
2. Liczba $x$ stanowi $150\%$ liczby $y$ ($y > 0$). O ile procent $y$ jest mniejsze od $x$?
3. Cena $p$ jest o $10\%$ wyższa od ceny $q$, a cena $r$ jest o $10\%$ niższa od $q$. O ile procent (w zaokrągleniu do $0{,}1\%$) cena $p$ jest wyższa od $r$?

Odpowiedzi: 1) O $30\%$; o $\frac{30}{130} \approx 23{,}1\%$. 2) $\frac{y}{1{,}5y} = \frac{2}{3}$, więc mniejsze o $33\frac{1}{3}\%$. 3) $\frac{1{,}1}{0{,}9} \approx 1{,}222$, czyli o około $22{,}2\%$.

Punkty procentowe

Gdy zmienia się wielkość, która sama jest procentem — oprocentowanie lokaty, stopa bezrobocia, poparcie partii — pojawia się niejasność. Oprocentowanie wzrosło z $4\%$ do $5\%$. Czy wzrosło „o $1\%$”, czy „o $25\%$”? Obie odpowiedzi opisują coś innego, dlatego wprowadzono osobną jednostkę: punkt procentowy.

Punkt procentowy (p.p.) mierzy zwykłą różnicę dwóch procentów: $5\% - 4\% = 1$ punkt procentowy. Procent mierzy względną zmianę: wzrost o $1$ punkt z poziomu $4$ punktów to $\frac{1}{4} = 25\%$. Media i banki mówią „stopa wzrosła o punkt procentowy”, a nie „o procent”, żeby nie było wątpliwości. Im niższy poziom wyjściowy, tym większy procent daje ten sam punkt: wzrost o $1$ punkt z poziomu $2\%$ to aż $50\%$, a z poziomu $20\%$ — tylko $5\%$.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Oprocentowanie kredytu wzrosło z $12\%$ do $15\%$. Opisz zmianę w punktach procentowych i w procentach.

Różnica procentów:

$$15 - 12 = 3 \ \text{punkty procentowe}$$

Zmiana względna, liczona od wartości początkowej $12$ (Rys. 8):

$$\frac{3}{12} = 0{,}25 = 25\%$$

Przykład 2. Stopa bezrobocia spadła z $5\%$ do $4\%$. O ile punktów procentowych i o ile procent spadła?

$$5 - 4 = 1 \ \text{punkt procentowy}$$ $$\frac{1}{5} = 0{,}2 = 20\%$$

Spadek o jeden punkt procentowy to spadek o jedną piątą, bo z każdych pięciu bezrobotnych ubył mniej więcej jeden.

Przykład 3. Poparcie kandydata wynosiło $30\%$ i wzrosło o $10\%$. Jakie jest teraz?

Uwaga — wzrost „o $10\%$”, nie „o $10$ punktów”. Liczysz $10\%$ od $30$:

$$30 \cdot 1{,}1 = 33$$

Poparcie wynosi $33\%$, czyli wzrosło o $3$ punkty procentowe. Gdyby wzrosło o $10$ punktów procentowych, wynosiłoby $40\%$.

Typowy błąd

Uczniowie piszą, że wzrost z $12\%$ do $15\%$ to wzrost „o $3\%$”. To wzrost o $3$ punkty procentowe, a o $25\%$. Odwrotny błąd: wzrost o $10\%$ poparcia równego $30\%$ liczony jako $30 + 10 = 40$. Zawsze sprawdź, czy zadanie mówi o punktach (odejmujesz i dodajesz), czy o procentach (mnożysz przez mnożnik).

Sprawdź się

1. Oprocentowanie lokaty spadło z $6\%$ do $4{,}5\%$. O ile punktów procentowych i o ile procent spadło?
2. Frekwencja wzrosła z $40\%$ o $15\%$. Ile teraz wynosi?
3. Udział rośliny w uprawach wzrósł z $5\%$ do $7\%$. Które zdanie jest poprawne: „wzrósł o $2\%$” czy „wzrósł o $2$ punkty procentowe”?

Odpowiedzi: 1) O $1{,}5$ p.p., czyli o $\frac{1{,}5}{6} = 25\%$. 2) $40 \cdot 1{,}15 = 46\%$. 3) Drugie; w procentach byłby to wzrost o $\frac{2}{5} = 40\%$.

Procent składany

Wpłacasz pieniądze na lokatę oprocentowaną $5\%$ w skali roku. Po roku bank dopisuje odsetki — $5\%$ wpłaty. W drugim roku odsetki liczy już od większej kwoty, bo od wpłaty razem z odsetkami z pierwszego roku. To jest procent składany: odsetki co roku dołączają do kapitału i same zaczynają „pracować”. Dopisanie odsetek do kapitału nazywa się kapitalizacją.

Jak to zapisać wzorem? Każdy rok to wzrost o $p\%$, czyli mnożenie przez ten sam mnożnik $1 + \frac{p}{100}$. Po jednym roku masz $K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$, po dwóch — ten sam wynik jeszcze raz pomnożony przez mnożnik. Po $n$ latach mnożnik stoi w iloczynie $n$ razy, a to jest potęga. Procent składany to więc zastosowanie potęgowania — tak jak w tematach o potęgach, gdzie każdy krok był mnożeniem przez stały czynnik.

Warto porównać procent składany z prostym, w którym odsetki co roku liczy się tylko od wpłaty początkowej. Przy procencie prostym kapitał rośnie co roku o tę samą kwotę (jak ciąg arytmetyczny), a przy składanym — o ten sam czynnik (jak potęga). Na początku różnica jest mała, ale z każdym rokiem rośnie.

Kolejne kwoty na lokacie tworzą ciąg, w którym każdy wyraz jest poprzednim pomnożonym przez ten sam mnożnik. Takie ciągi — geometryczne — poznasz w dziale o ciągach; procent składany jest ich najważniejszym zastosowaniem.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Na lokatę trzyletnią oprocentowaną $4\%$ w skali roku z roczną kapitalizacją wpłacono $20\,000$ zł. Ile będzie na lokacie po $3$ latach (bez podatku)? Ile wyniosą odsetki?

Podstawiasz do wzoru: $K_0 = 20\,000$, $p = 4$, $n = 3$.

$$K_3 = 20\,000 \cdot 1{,}04^3$$

Liczysz potęgę przez kolejne mnożenia: $1{,}04^2 = 1{,}0816$, $1{,}04^3 = 1{,}124864$.

$$K_3 = 20\,000 \cdot 1{,}124864 = 22\,497{,}28 \ \text{zł}$$

Odsetki:

$$22\,497{,}28 - 20\,000 = 2\,497{,}28 \ \text{zł}$$

Sprawdzenie sensu: przy procencie prostym odsetki wyniosłyby $3 \cdot 800 = 2400$ zł. Procent składany daje trochę więcej — tak musi być (Rys. 9).

Przykład 2. Kapitał złożono na $5$ lat na $2\%$ rocznie z roczną kapitalizacją. O ile procent wzrośnie (w zaokrągleniu do $0{,}1\%$)?

Kwota początkowa nie jest potrzebna — wystarczy mnożnik po pięciu latach:

$$1{,}02^5 \approx 1{,}10408$$

Mnożnik $1{,}104$ oznacza wzrost o około $10{,}4\%$. Zauważ: nie o $5 \cdot 2\% = 10\%$, tylko trochę więcej.

Przykład 3. Po ilu pełnych latach kapitał na lokacie $5\%$ rocznie (kapitalizacja roczna) po raz pierwszy przekroczy $1{,}5$ raza kwotę wpłaconą?

Szukasz najmniejszego $n$, dla którego $1{,}05^n > 1{,}5$. Mnożysz kolejno przez $1{,}05$:

$$1{,}05^8 \approx 1{,}477$$ $$1{,}05^9 \approx 1{,}551$$

Po $8$ latach jeszcze nie, po $9$ latach tak. Odpowiedź: po $9$ latach (Rys. 10).

Typowy błąd

Uczniowie liczą procent składany jak prosty: $20\,000 \cdot (1 + 3 \cdot 0{,}04) = 22\,400$ zł. To pomija odsetki od odsetek — różnica wynosi tu $97{,}28$ zł. Drugi błąd to pomylenie kapitału końcowego z odsetkami. Jeśli zadanie pyta o odsetki, od $K_n$ trzeba odjąć $K_0$. Czytaj pytanie do końca: „ile będzie na lokacie” i „ile wyniosą odsetki” to różne liczby.

Sprawdź się

1. Oblicz kapitał po $2$ latach, jeśli $4000$ zł złożono na $3\%$ rocznie z roczną kapitalizacją.
2. O ile procent wzrośnie kapitał po $2$ latach przy oprocentowaniu $10\%$ rocznie (kapitalizacja roczna)?
3. Ile trzeba wpłacić dziś na lokatę $5\%$ rocznie (kapitalizacja roczna), żeby po $2$ latach mieć $4410$ zł?

Odpowiedzi: 1) $4000 \cdot 1{,}03^2 = 4000 \cdot 1{,}0609 = 4243{,}60$ zł. 2) $1{,}1^2 = 1{,}21$, czyli o $21\%$. 3) $K_0 = \frac{4410}{1{,}05^2} = \frac{4410}{1{,}1025} = 4000$ zł.

Lokaty i kredyty

W prawdziwym banku do procentu składanego dochodzą dwie rzeczy: podatek od odsetek i różne okresy kapitalizacji. Obie da się uwzględnić tą samą metodą mnożnika.

Podatek od odsetek

W Polsce od odsetek z lokaty pobiera się podatek $19\%$. Bank dopisuje więc tylko $81\%$ odsetek. Jeśli oprocentowanie wynosi $p\%$, to po podatku kapitał rośnie w roku o $0{,}81 \cdot p\%$. Mnożnik roczny po podatku to:

$$1 + 0{,}81 \cdot \frac{p}{100}$$

Przy oprocentowaniu $4\%$ daje to $1 + 0{,}0324 = 1{,}0324$. Dalej liczysz tak jak zwykle: podnosisz mnożnik do potęgi równej liczbie lat.

Kapitalizacja częstsza niż raz w roku

Niektóre lokaty dopisują odsetki co kwartał albo co miesiąc. Oprocentowanie roczne dzieli się wtedy na części: przy kapitalizacji kwartalnej co kwartał dopisuje się $\frac{p}{4}\%$, a kwartałów w roku jest $4$. Przy $8\%$ rocznie mnożnik kwartalny to $1{,}02$, a po roku kapitał rośnie $1{,}02^4$ razy. To trochę więcej niż $1{,}08$, bo odsetki zaczynają „pracować” wcześniej.

Kredyt

Kredyt to lokata „odwrócona”: tym razem to bank pożycza pieniądze, a odsetki płacisz ty. Jeśli kredyt z odsetkami składanymi spłaca się jednorazowo po $n$ latach, dług rośnie dokładnie według wzoru na procent składany. Koszt kredytu to różnica między kwotą do oddania a kwotą pożyczoną. W praktyce kredyty spłaca się w ratach, ale na maturze podstawowej wystarcza model z jedną spłatą albo z danymi podanymi w treści.

Porównując oferty, patrz na mnożnik jednego roku, a nie na samo oprocentowanie. Lokata $4\%$ z kapitalizacją kwartalną daje po roku mnożnik $1{,}01^4 \approx 1{,}0406$, a więc trochę więcej niż lokata $4\%$ z kapitalizacją roczną. Przy kredycie jest odwrotnie: częstsza kapitalizacja oznacza wyższy koszt. Liczba lat nie zmienia porównania — lepszy mnożnik roczny jest lepszy w każdym roku.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Na roczną lokatę $4\%$ wpłacono $6000$ zł. Ile wyniosą odsetki, podatek i kwota po roku?

Odsetki przed podatkiem:

$$0{,}04 \cdot 6000 = 240 \ \text{zł}$$

Podatek to $19\%$ odsetek:

$$0{,}19 \cdot 240 = 45{,}60 \ \text{zł}$$

Na lokatę trafia $240 - 45{,}60 = 194{,}40$ zł, więc po roku jest $6194{,}40$ zł. To samo daje mnożnik: $6000 \cdot 1{,}0324 = 6194{,}40$.

Przykład 2. Ile będzie na tej samej lokacie po $2$ latach, jeśli podatek pobiera się przy każdej rocznej kapitalizacji?

Mnożnik po podatku to $1{,}0324$, podnosisz go do kwadratu. Zaokrąglasz dopiero wynik końcowy:

$$6000 \cdot 1{,}0324^2 = 6000 \cdot 1{,}06584976 = 6395{,}09856$$

Na lokacie będzie $6395{,}10$ zł.

Przykład 3. Porównaj kwotę po roku na lokacie $8\%$ rocznie z kapitalizacją roczną i kwartalną (bez podatku), jeśli wpłacono $10\,000$ zł.

Kapitalizacja roczna:

$$10\,000 \cdot 1{,}08 = 10\,800 \ \text{zł}$$

Kapitalizacja kwartalna — mnożnik $1{,}02$, cztery okresy:

$$10\,000 \cdot 1{,}02^4 = 10\,000 \cdot 1{,}08243216 \approx 10\,824{,}32 \ \text{zł}$$

Częstsza kapitalizacja daje o $24{,}32$ zł więcej (Rys. 11).

Przykład 4. Firma wzięła kredyt $15\,000$ zł na $2$ lata oprocentowany $9\%$ rocznie, z roczną kapitalizacją i jednorazową spłatą. Oblicz koszt kredytu.

Dług po dwóch latach:

$$15\,000 \cdot 1{,}09^2 = 15\,000 \cdot 1{,}1881 = 17\,821{,}50 \ \text{zł}$$

Koszt kredytu to nadwyżka ponad pożyczoną kwotę:

$$17\,821{,}50 - 15\,000 = 2\,821{,}50 \ \text{zł}$$

Typowy błąd

Uczniowie odejmują podatek od całej kwoty na lokacie: $0{,}81 \cdot 6240 = 5054{,}40$ zł. Podatek dotyczy tylko odsetek, nie wpłaty — kapitał początkowy nie jest zyskiem. Drugi błąd przy kapitalizacji kwartalnej: mnożnik $1{,}08$ podniesiony do potęgi $4$. Oprocentowanie roczne dzielisz na kwartały ($8\% : 4 = 2\%$), a nie mnożysz przez $4$ liczby okresów przy pełnym oprocentowaniu.

Sprawdź się

1. Na roczną lokatę $5\%$ wpłacono $2000$ zł. Ile będzie po roku po odliczeniu podatku $19\%$ od odsetek?
2. Lokata $6\%$ rocznie ma kapitalizację półroczną. Jaki jest mnożnik po roku (bez podatku)?
3. Kredyt $8000$ zł na $2$ lata, $10\%$ rocznie, kapitalizacja roczna, jednorazowa spłata. Oblicz koszt kredytu.

Odpowiedzi: 1) Odsetki $100$ zł, podatek $19$ zł, na lokacie $2081$ zł. 2) $1{,}03^2 = 1{,}0609$. 3) $8000 \cdot 1{,}21 = 9680$ zł, koszt $1680$ zł.

Kalkulator i procenty w danych

Na maturze podstawowej masz kalkulator prosty. Nie ma na nim klawisza potęgi, więc $1{,}03^6$ liczysz przez kolejne mnożenia. Na większości kalkulatorów wystarczy wpisać $1{,}03 \times$ i kilka razy nacisnąć „$=$” — każde naciśnięcie mnoży wynik jeszcze raz przez $1{,}03$. Uważnie licz naciśnięcia: pierwsze „$=$” daje już drugą potęgę.

Klawisza „$\%$” lepiej nie używać — na różnych kalkulatorach działa inaczej. Bezpieczniej zamienić procent na ułamek dziesiętny i mnożyć.

Procent z tabeli lub diagramu

Częste zadanie maturalne podaje dane w tabeli albo na diagramie i pyta, jaki procent stanowi pewna grupa. Metoda jest zawsze ta sama. Najpierw ustalasz całość — zwykle sumę wszystkich liczebności. Potem sumujesz liczebności grupy, o którą pytają. Na końcu dzielisz i zaokrąglasz dopiero wynik końcowy, zgodnie z poleceniem.

Przykłady rozwiązane

Przykład 1. Na kalkulatorze prostym oblicz $1{,}04^6$ i wynik zaokrąglij do części tysięcznych.

Mnożysz kolejno przez $1{,}04$:

$$1{,}04^2 = 1{,}0816$$ $$1{,}04^3 = 1{,}124864$$ $$1{,}04^6 = 1{,}124864^2 \approx 1{,}265319$$

Skrót: zamiast sześciu mnożeń możesz podnieść do kwadratu trzecią potęgę, bo $1{,}04^6 = \left(1{,}04^3\right)^2$. Wynik w zaokrągleniu: $1{,}265$.

Przykład 2. W ankiecie wzięło udział $120$ osób. Transport miejski wskazało $45$ osób, rower $30$, samochód $27$, a pozostali chodzą pieszo. Jaki procent ankietowanych nie korzysta z samochodu? Wynik podaj w zaokrągleniu do $1\%$.

Całość to $120$ (Rys. 12). Z samochodu nie korzysta $120 - 27 = 93$ osoby.

$$\frac{93}{120} = 0{,}775 = 77{,}5\%$$

Zaokrąglenie do $1\%$: cyfra $5$ po przecinku, więc w górę — $78\%$.

Sprawdzenie drogą okrężną: samochód to $\frac{27}{120} = 22{,}5\%$, a $100\% - 22{,}5\% = 77{,}5\%$. Zgadza się.

Typowy błąd

Uczniowie dzielą przez liczbę kategorii albo przez złą sumę. W ankiecie z przykładu $2$ są cztery kategorie, ale całość to $120$ osób, a nie $4$. Drugi błąd to zaokrąglanie po drodze: $\frac{93}{120}$ zaokrąglone najpierw do $0{,}8$ daje $80\%$ zamiast $78\%$.

Sprawdź się

1. Na kalkulatorze prostym oblicz $1{,}05^4$ i zaokrąglij do części tysięcznych.
2. Z $250$ ankietowanych $95$ osób wybrało odpowiedź „tak”. Jaki to procent?
3. W klasie jest $28$ uczniów, $9$ z nich ma psa. Jaki procent uczniów ma psa (w zaokrągleniu do $1\%$)?

Odpowiedzi: 1) $1{,}05^2 = 1{,}1025$, $1{,}1025^2 = 1{,}21550625 \approx 1{,}216$. 2) $\frac{95}{250} = 0{,}38 = 38\%$. 3) $\frac{9}{28} \approx 0{,}3214$, czyli około $32\%$.

Najczęstsze błędy na maturze

• Zła całość. Procent zawsze liczysz od liczby stojącej po słowach „procent liczby” albo „większe od” — to ona jest w mianowniku.
• Dodawanie procentów zmian. Kolejne zmiany to iloczyn mnożników; podwyżka o $50\%$ i obniżka o $50\%$ dają spadek o $25\%$.
• Cofanie zmiany odejmowaniem. Cenę przed podwyżką o $8\%$ wyznaczasz, dzieląc przez $1{,}08$, a nie odejmując $8\%$ od nowej ceny.
• Zamiana podstawy porównania. „O $60\%$ więcej” w jedną stronę to „o $37{,}5\%$ mniej” w drugą.
• Procent zamiast punktu procentowego. Zmiana z $12\%$ na $15\%$ to $3$ punkty procentowe, czyli $25\%$.
• Procent składany liczony jak prosty. Kapitał po $n$ latach to $K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$, a nie $K_0 \cdot \left(1 + n \cdot \frac{p}{100}\right)$.
• Kapitał zamiast odsetek. Odsetki to $K_n - K_0$.
• Podatek od całej kwoty. Podatek $19\%$ dotyczy tylko odsetek.
• Kapitalizacja kwartalna. Oprocentowanie roczne dzielisz na $4$, a liczbę okresów mnożysz przez $4$.
• Zaokrąglanie po drodze. Zaokrąglasz tylko wynik końcowy, z dokładnością z polecenia.